Symplektische Gruppe

Die symplektische Gruppe (die Bezeichnung wurde von Hermann Weyl eingeführt und geht auf das altgriechische Wort σνμ-πλεκω für zusammenflechten zurück) ist ein Begriff aus der Mathematik, im Überlappungsbereich der Gebiete lineare Algebra und Gruppentheorie. Sie ist die Menge der linearen Abbildungen, die eine symplektische Form, das heißt eine nichtausgeartete alternierende Bilinearform, invariant lassen, so wie die orthogonale Gruppe der längentreuen Abbildungen eine nichtausgeartete, symmetrische Bilinearform invariant lässt. Elemente der symplektischen Gruppe werden als symplektische Abbildungen bezeichnet. Die symplektische Gruppe in $2n$ Dimensionen ist eine halbeinfache Gruppe zum Wurzelsystem C_n. Sie spielt beim Studium symplektischer Vektorräume eine wichtige Rolle.

Auch die Lie-Gruppe $Sp(n)$ wird als (kompakte) symplektische Gruppe bezeichnet.

Die doppelte Überlagerung der symplektischen Gruppe wird als metaplektische Gruppe bezeichnet.

Definition

Für jedes $n\in \mathbb {N}$ und jeden Körper $K$ mit Charakteristik ungleich zwei ist die symplektische Gruppe $Sp_{2n}(K)$ eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe $\mathrm {GL} (2n,K)$

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle Sp_{2n}(K)\colon =\left\{T\in GL_{2n}(K)\mid \,T^{\text{T}}\,I_{n}\,T=I_{n}\right\}}

mit

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle I_{n}={\begin{pmatrix}0&E_{n}\\-E_{n}&0\end{pmatrix}}} ,

wobei $E_{n}$ die $n\times n$-Einheitsmatrix und $0$ die $n\times n$-Nullmatrix bezeichnet.

Für $K\in \left\{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \right\}$ ist $Sp(n,K)$ eine Lie-Gruppe und die Lie-Algebra von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Sp}(2n,K)} ist

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,K)=\left\{A\in \mathrm {Mat} (2n,K):I_{n}A+A^{T}I_{n}=0\right\}} .

Endliche Gruppen

Ist der Körper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} endlich mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} Elementen, so schreibt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Sp}(2n,q)} an Stelle von $\mathrm {Sp} (2n,K)$. Man erhält eine endliche Gruppe mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{ord}(Sp(2n,q)) = q^{n^2} \prod_{i=1}^n(q^{2i}-1)}

Elementen. Das Zentrum dieser Gruppe besteht aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pm \mathrm{id}_{K^n}} , es hat daher zwei Elemente für ungerades Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} und ist trivial für gerades $q$.

Projektive symplektische Gruppen

Die Faktorgruppen der symplektischen Gruppen nach ihrem Zentrum heißen projektive symplektische Gruppen und werden mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle PSp(2n,K)} bezeichnet. Im Falle eines endlichen Körpers mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} Elementen ist

$\mathrm {ord} (PSp(2n,q))={\frac {q^{n^{2}}}{\mathrm {ggT} (2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}(q^{2i}-1)$

und die Gruppen sind einfach mit Ausnahme von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle PSp(2,2), PSp(2,3)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle PSp(4,2)} . Man erhält damit eine unendliche Serie einfacher Gruppen. Es handelt sich dabei um Gruppen vom Lie-Typ C_n und damit um eine der insgesamt 16 unendlichen Serien von Gruppen vom Lie-Typ. Daher wird Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle PSp(2n,q)} auch mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_n(q)} bezeichnet.

Kompakte symplektische Gruppe

Die kompakte symplektische Gruppe $Sp(n)$ ist die Gruppe der (invertierbaren) quaternionisch-linearen Abbildungen, die das auf dem n-dimensionalen quaternionischen Vektorraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{H}^n} definierte Skalarprodukt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x, y\rangle = \bar x_1 y_1 + \cdots + \bar x_n y_n}

erhalten.

Diese Gruppe ist keine symplektische Gruppe im Sinne des vorhergehenden Abschnittes. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Sp(n)} ist aber die kompakte reelle Form von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Sp(2n,\Complex)} .

$Sp(n)$ ist eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n(2n+1)} -dimensionale kompakte Lie-Gruppe und einfach zusammenhängend. Ihre Lie-Algebra ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{sp}(n)=\left\{A\in \mathrm{Mat}(n,\mathbb{H}): A+A^\dagger=0\right\}} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A^\dagger } die quaternionisch-konjugiert transponierte Matrix bezeichnet.

Es gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Sp(n)=U(2n)\cap Sp(2n,\Complex)} .

Obwohl auch endliche Mengen kompakt sind, sind mit kompakten symplektischen Gruppen meistens die hier angegebenen Lie-Gruppen gemeint.

Literatur

• Vladimir L. Popov: Symplectic group. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online). 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Symplectic Group. In: MathWorld (englisch).