Symplektische Gruppe

Die symplektische Gruppe (die Bezeichnung wurde von Hermann Weyl eingeführt^[1] und geht auf das altgriechische Wort σνμ-πλεκω für zusammenflechten zurück^[2]) ist ein Begriff aus der Mathematik, im Überlappungsbereich der Gebiete lineare Algebra und Gruppentheorie. Sie ist die Menge der linearen Abbildungen, die eine symplektische Form, das heißt eine nichtausgeartete alternierende Bilinearform, invariant lassen, so wie die orthogonale Gruppe der längentreuen Abbildungen eine nichtausgeartete, symmetrische Bilinearform invariant lässt. Elemente der symplektischen Gruppe werden als symplektische Abbildungen bezeichnet. Die symplektische Gruppe in $2n$ Dimensionen ist eine halbeinfache Gruppe zum Wurzelsystem C_n. Sie spielt beim Studium symplektischer Vektorräume eine wichtige Rolle.

Auch die Lie-Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Sp(n)} wird als (kompakte) symplektische Gruppe bezeichnet.

Die doppelte Überlagerung der symplektischen Gruppe wird als metaplektische Gruppe bezeichnet.

Definition

Für jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \in \mathbb{N}} und jeden Körper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} mit Charakteristik ungleich zwei ist die symplektische Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Sp_{2n}(K)} eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{GL}(2n,K)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Sp_{2n}(K) \colon= \left\{ T \in GL_{2n}(K)\mid\, T^{\text{T}}\,I_n\,T=I_n\right\}}

mit

I_{n}={\begin{pmatrix}0&E_{n}\\-E_{n}&0\end{pmatrix}}

,

wobei $E_{n}$ die $n\times n$ -Einheitsmatrix und $0$ die $n\times n$ -Nullmatrix bezeichnet.

Für $K\in \left\{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} \right\}$ ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle Sp(n,K)} eine Lie-Gruppe und die Lie-Algebra von $\mathrm {Sp} (2n,K)$ ist

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,K)=\left\{A\in \mathrm {Mat} (2n,K):I_{n}A+A^{T}I_{n}=0\right\}} .

Endliche Gruppen

Ist der Körper $K$ endlich mit $q$ Elementen, so schreibt man $\mathrm {Sp} (2n,q)$ an Stelle von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Sp}(2n,K)} . Man erhält eine endliche Gruppe mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{ord}(Sp(2n,q)) = q^{n^2} \prod_{i=1}^n(q^{2i}-1)}

Elementen. Das Zentrum dieser Gruppe besteht aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pm \mathrm{id}_{K^n}} , es hat daher zwei Elemente für ungerades Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} und ist trivial für gerades $q$ .

Projektive symplektische Gruppen

Die Faktorgruppen der symplektischen Gruppen nach ihrem Zentrum heißen projektive symplektische Gruppen und werden mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle PSp(2n,K)} bezeichnet. Im Falle eines endlichen Körpers mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} Elementen ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{ord}(PSp(2n,q)) = \frac{q^{n^2}}{\mathrm{ggT}(2,q-1)} \prod_{i=1}^n(q^{2i}-1)}

und die Gruppen sind einfach mit Ausnahme von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle PSp(2,2), PSp(2,3)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle PSp(4,2)} .^[3] Man erhält damit eine unendliche Serie einfacher Gruppen. Es handelt sich dabei um Gruppen vom Lie-Typ C_n und damit um eine der insgesamt 16 unendlichen Serien von Gruppen vom Lie-Typ. Daher wird Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle PSp(2n,q)} auch mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_n(q)} bezeichnet.

Kompakte symplektische Gruppe

Die kompakte symplektische Gruppe $Sp(n)$ ist die Gruppe der (invertierbaren) quaternionisch-linearen Abbildungen, die das auf dem n-dimensionalen quaternionischen Vektorraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{H}^n} definierte Skalarprodukt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x, y\rangle = \bar x_1 y_1 + \cdots + \bar x_n y_n}

erhalten.

Diese Gruppe ist keine symplektische Gruppe im Sinne des vorhergehenden Abschnittes. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Sp(n)} ist aber die kompakte reelle Form von $Sp(2n,\mathbb {C} )$ .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Sp(n)} ist eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n(2n+1)} -dimensionale kompakte Lie-Gruppe und einfach zusammenhängend. Ihre Lie-Algebra ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{sp}(n)=\left\{A\in \mathrm{Mat}(n,\mathbb{H}): A+A^\dagger=0\right\}} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A^\dagger } die quaternionisch-konjugiert transponierte Matrix bezeichnet.

Es gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Sp(n)=U(2n)\cap Sp(2n,\Complex)} .

Obwohl auch endliche Mengen kompakt sind, sind mit kompakten symplektischen Gruppen meistens die hier angegebenen Lie-Gruppen gemeint.

Literatur

Vladimir L. Popov: Symplectic group. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Einzelnachweise

↑ Hermann Weyl: The Classical Groups, Princeton 1939, Fußnote S. 165
↑ Wilhelm Pape: Handwörterbuch der griechischen Sprache, Bd. 2, S. 1000, Vieweg&Sohn, Braunschweig, 1914.
↑ Roger W. Carter: Simple Groups of Lie Type, John Wiley & Sons 1972, ISBN 0-471-13735-9, Kapitel 1.3: The Symplectic Groups

Weblinks

Eric W. Weisstein: Symplectic Group. In: MathWorld (englisch).

[1] Hermann Weyl: The Classical Groups, Princeton 1939, Fußnote S. 165

[2] Wilhelm Pape: Handwörterbuch der griechischen Sprache, Bd. 2, S. 1000, Vieweg&Sohn, Braunschweig, 1914.

[3] Roger W. Carter: Simple Groups of Lie Type, John Wiley & Sons 1972, ISBN 0-471-13735-9, Kapitel 1.3: The Symplectic Groups

[1]

[2]

[3]

Anonym

Suche

Symplektische Gruppe

Namensräume

Mehr

Seitenaktionen

Inhaltsverzeichnis

Definition

Endliche Gruppen

Projektive symplektische Gruppen

Kompakte symplektische Gruppe

Literatur

Einzelnachweise

Weblinks

Navigation

Navigation

Mitmachen

Wikiwerkzeuge

Wikiwerkzeuge

Anonym

Suche

Symplektische Gruppe

Definition

Endliche Gruppen

Projektive symplektische Gruppen

Kompakte symplektische Gruppe

Literatur

Einzelnachweise

Weblinks

Navigation

Wikiwerkzeuge

Seitenwerkzeuge

Weitere Projekte

Kategorien