Symplektische Abbildung

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Eine symplektische Abbildung ist eine Objekt aus der Mathematik insbesondere aus der symplektischen Geometrie. Die symplektische Abbildung ist eine Verallgemeinerung der symplektischen linearen Abbildung, die die strukturerhaltende Abbildung zwischen symplektischen Vektorräume ist, in den Kontext der symplektischen Mannigfaltigkeiten. Eine Koordinatendarstellung der symplektischen linearen Abbildung wird symplektische Matrix genannt. Ist die symplektische Abbildung invertierbar, so wird sie als Symplektomorphismus bezeichnet.

Symplektische Abbildungen sind per Definition genau die Abbildungen die alternierende, nicht ausgeartete Bilinearformen unverändert lassen. Symplektische Abbildungen zwischen zwei Flächen bilden damit per Konstruktion die Klasse von Abbildungen, die die Größe von Flächen nicht verändern, also den Flächeninhalt gleich belassen. In höheren Dimensionen gibt es jedoch volumenerhaltende Abbildungen, die keine symplektischen Abbildungen sind. Ein analoges Konzept ist das der orthogonalen Abbildung, die symmetrische, nicht ausgeartete Bilinearformen unverändert lässt und damit Winkel nicht verändert.

In der klassischen Mechanik stellt ein Symplektomorphismus eine Transformation des Phasenraums dar, die volumenerhaltend ist und die symplektische Struktur des Phasenraums bewahrt, als kanonische Transformation bezeichnet.

Symplektische lineare Abbildungen

Definition

Seien und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (V_2, \omega_2)} zwei symplektische Vektorräume. Eine lineare Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi \colon V_1 \to V_2} wird symplektische lineare Abbildung genannt, falls

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega_2(\phi(v), \phi (w)) = \omega_1(v,w)}

für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v,w \in V_1} gilt.[1]

Eigenschaften

Eine symplektische lineare Abbildung ist injektiv. Dies folgt daraus, dass die symplektische Bilinearform Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} nicht ausgeartet ist.[1]

Die Menge der symplektischen linearen Abbildungen bildet zusammen mit der Verkettung von Funktionen die symplektische Gruppe, die im Folgenden mit notiert wird. Insbesondere ist also die Verkettung symplektischer linearer Abbildungen und die Inverse einer linearen symplektischen Abbildung wieder linear symplektisch.[2]

Sei ein Körper und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle V=K^{2n}} ein endlichdimensionaler Vektorraum. Die Elemente von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Sp(V)} können auf natürliche Weise als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2n \times 2n} -Matrizen dargestellt werden. In Standardkoordinaten kann eine symplektische Form durch

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \omega (v,v')=\sum _{i}(x_{i}y'_{i}-x'_{i}y_{i})}

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v = (x_1, \ldots x_n, y_1, \ldots y_n)^t} dargestellt werden. Mit der Matrix

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle J := \begin{pmatrix} 0 & E_n \\ -E_n & 0 \end{pmatrix}} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_n} die -Einheitsmatrix ist, kann die symplektische Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega(v,v') = v^t J v'}

notiert werden. Die symplektische Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M \in Sp(K^{2n})} – als Darstellung einer eines symplektischen Automorphismus – lässt die Bilinearform Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} invariante, was

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \omega (Mv,Mv')=\omega (v,v')}

bedeutet, genau dann, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M^tJM = J} gilt.[1]

Die Determinante einer symplektischen linearen Abbildung ist eins.[3]

Definition

Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (M, \omega_M)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (N, \omega_N)} zwei symplektische Mannigfaltigkeiten der Dimension und sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F \colon M \to N} eine glatte Abbildung zwischen den zwei symplektischen Mannigfaltigkeiten. Die Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} heißt symplektisch falls

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F^* \omega_N = \omega_M}

gilt. Dabei bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F^* \omega_N} den Rücktransport von entlang und ist definiert als .

Ist ein Diffeomorphismus, dann ist ebenfalls eine symplektische Abbildung und wird Symplektomorphismus genannt.[4]

Die Menge der Symplektomorphismen (auf ) bildet zusammen mit der Verkettung die symplektische Gruppe auf .[4]

Eigenschaften

  • Ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle F\colon M\to N} ein symplektische Abbildung, dann ist das Differential Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle DF\colon TM\to TN} eine symplektische lineare Abbildung.
  • Die symplektischen Abbildungen sind die Morphismen in der Kategorie der symplektischen Mannigfaltigkeiten. Die Symplektomorphismen sind die Isomorphismen dieser Kategorie.
  • Ein Diffeomorphismus Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle F\colon M\to N} ist genau dann symplektisch, wenn er die Poisson-Klammer nicht verändert, das heißt, wenn
gilt.[5]

Weblinks

Einzelnachweise

  1. ↑ a b c Rolf Berndt: Introduction to symplectic geometry. American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2056-7, S. 14.
  2. ↑ Dusa McDuff: Introduction to symplectic Topology. 3. Auflage. Oxford University Press, 2017, ISBN 0-19-879490-8, S. 20.
  3. ↑ Dusa McDuff: Introduction to symplectic Topology. 3. Auflage. Oxford University Press, 2017, ISBN 0-19-879490-8, S. 21.
  4. ↑ a b Rolf Berndt: Introduction to symplectic geometry. American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2056-7, S. 36.
  5. ↑ Rolf Berndt: Introduction to symplectic geometry. American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2056-7, S. 84.
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