Symplektische Mannigfaltigkeit

Symplektische Mannigfaltigkeiten sind die zentralen Objekte der symplektischen Geometrie, eines Teilgebiets der Differentialgeometrie. Die symplektischen Mannigfaltigkeiten haben einen sehr starken Bezug zur theoretischen Physik.

Definition

Eine symplektische Mannigfaltigkeit ist eine glatte Mannigfaltigkeit $M$ zusammen mit einer symplektischen Form $\omega$, das heißt einer globalen, glatten und geschlossenen 2-Form, die punktweise nicht ausgeartet ist (siehe auch symplektischer Raum). „Geschlossen“ bedeutet, dass die äußere Ableitung der Differentialform verschwindet, $\mathrm {d} \omega =0$.

Symplektische Mannigfaltigkeiten haben immer eine geradzahlige Dimension, da antisymmetrische Matrizen in ungeraden Dimensionen nicht invertierbar sind und deshalb antisymmetrische Bilinearformen in ungerader Dimension ausgeartet sind.

Poisson-Klammer

→ Hauptartikel: Poisson-Klammer

Da die Form $\textstyle \omega =\sum _{ij}\omega _{ij}\,\mathrm {d} x^{i}\wedge \mathrm {d} x^{j}$ nicht ausgeartet ist, definiert sie mit ihrem Inversen an jedem Punkt eine bilineare Abbildung von Eins-Formen $\textstyle \eta =\sum _{i}\eta _{i}\,\mathrm {d} x^{i}$ und $\textstyle \chi =\sum _{j}\chi _{j}\,\mathrm {d} x^{j}$

$\Omega (\eta ,\chi )=\sum _{ij}\omega ^{ij}\,\eta _{i}\,\chi _{j}\,,\quad \sum _{j}\omega ^{ij}\omega _{jk}=\delta ^{i}{}_{k}$

und die Poisson-Klammer der Funktionen $f$ und $g$,

$\{f,g\}=\Omega (\mathrm {d} f,\mathrm {d} g)=\sum _{ij}\omega ^{ij}\,\partial _{i}f\,\partial _{j}g\,.$

Lagrangesche Untermannigfaltigkeit

→ Hauptartikel: Lagrangesche Untermannigfaltigkeit

Eine Lagrangesche Untermannigfaltigkeit einer 2n-dimensionalen symplektischen Mannigfaltigkeit $(M,\omega )$ ist eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit $L\subset M$ mit

$\omega \mid _{TL}=0$,

d. h. die Einschränkung der symplektischen Form auf den Tangentialraum von L verschwindet.

Hamilton’scher Fluss

In einem Euklidischen Raum ist der Gradient einer Funktion $f$ dasjenige Vektorfeld $g_{f}$, dessen Skalarprodukt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle g_f,w\rangle} für jedes gegebene Vektorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w} mit der Anwendung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm d f} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w} übereinstimmt,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle g_f,w\rangle =\mathrm d f[w] = w[f]\,.}

In einer Symplektischen Mannigfaltigkeit gehört zu gegebenem f und einer gegebenen beliebigen Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} das Vektorfeld

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_h:f\mapsto \{f,h\}\,,}

das Funktionen $f$ längs einer Integralkurve der zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} (interpretiert als sog. Hamiltonfunktion des Systems) gehörigen hamiltonschen Gleichungen ableitet. Die Rolle von w wird hier also durch h übernommen, und es wird für h die Symplektische Geometrie bzw. die Hamilton’sche Dynamik benutzt.

Das Vektorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,v_h} ist also der symplektische Gradient von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} oder der infinitesimale Hamilton’sche Fluss von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} .

Satz von Darboux

Der Satz von Darboux benannt nach dem Mathematiker Jean Gaston Darboux besagt:

In der Umgebung jedes Punktes einer symplektischen Mannigfaltigkeit gibt es lokale Koordinatenpaare Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (q_i, p_i)} mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega = \sum_{i} \mathrm d q_i \land \mathrm d p_i\,.}

Die so definierten Koordinatenpaare werden als kanonisch konjugiert bezeichnet.

Beziehung zur Hamiltonschen Mechanik

In der Hamiltonschen Mechanik ist der Phasenraum eine symplektische Mannigfaltigkeit mit der geschlossenen, symplektischen Form

$\omega =\sum _{i}\mathrm {d} q_{i}\land \mathrm {d} p_{i}\,,\quad \mathrm {d} \omega =0\,.$

Dies ist kein Spezialfall, denn nach dem Satz von Darboux lässt sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} in lokalen Koordinaten immer als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \sum_{i} \mathrm d q_i \land \mathrm d p_i\ } schreiben. Bei symplektischen Mannigfaltigkeiten handelt es sich um die Phasenräume der Hamiltonschen Mechanik.

Die mathematische Aussage bezüglich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} ist äquivalent zu den sogenannten kanonischen Gleichungen der theoretischen Physik, speziell in der analytischen Mechanik.

In diesem Zusammenhang ist auch das Liouville-Theorem von Bedeutung, das in der statistischen Physik eine Rolle spielt. Es besagt im Wesentlichen, dass bei Hamilton'schen Flüssen das Phasenraumvolumen konstant bleibt, was für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsmaße dieser Theorie wichtig ist.

Siehe auch

• Kanonische Transformation, speziell den Absatz „Symplektische Struktur“
• Symplektische Abbildung, die Homomorphismen in der Kategorie der symplektischen Mannigfaltigkeiten

Literatur

• V. I. Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics (= Graduate Texts in Mathematics 60). 2. Auflage, Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-96890-3.
• Rolf Berndt: Einführung in die Symplektische Geometrie. Vieweg, Braunschweig u. a. 1998, ISBN 3-528-03102-6.

Weblinks

• Artikel Symplectic Structure in Springer Online Reference
• Artikel in Weisstein, Encyclopedia of Mathematics, bei Math World
• Dusa McDuff Symplectic structures - a new approach to geometry, Notices AMS, November 1998, PDF-Datei