Symplektischer Vektorraum

Ein symplektischer Vektorraum oder kurz symplektischer Raum ist in der linearen Algebra ein Vektorraum zusammen mit einer symplektischen Form, das heißt einer nichtausgearteten alternierenden Bilinearform. Während die symmetrische Bilinearform „Skalarprodukt“ die Länge von Vektoren misst, betrifft die alternierende Bilinearform die Flächengröße des von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms.

Definition

Ein symplektischer Vektorraum über einem Körper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} ist ein Vektorraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} zusammen mit einer Bilinearform Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle{-},{-}\rangle\colon V\times V\to K} , die die folgenden beiden Eigenschaften besitzt:

• $\langle {-},{-}\rangle$ ist alternierend, das heißt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle v,v\rangle=0} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v\in V}
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle{-},{-}\rangle} ist nicht ausgeartet, das heißt für jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0\ne v\in V} existiert ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w\in V} mit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \langle v,w\rangle \neq 0\,.}

Eine Bilinearform mit diesen beiden Eigenschaften wird auch symplektische Form genannt. Wegen

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle 0=\langle v+w,v+w\rangle =\langle v,v\rangle +\langle v,w\rangle +\langle w,v\rangle +\langle w,w\rangle =\langle v,w\rangle +\langle w,v\rangle }

wechselt die alternierende Form bei Vertauschung ihrer Argumente ihr Vorzeichen.

Beispiele

• Ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle B({-},{-})} ein hermitesches Skalarprodukt auf einem komplexen Vektorraum V, so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle v,w\rangle=\mathrm{Im}\,B(v,w)} eine symplektische Form auf V (als reeller Vektorraum aufgefasst).

• Eine wichtige Klasse symplektischer Räume bilden die hyperbolischen Ebenen: Ist V zweidimensional mit Basis {v,w}, und gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle v,w\rangle=1} , so heißt V oder das Tripel (V,v,w) eine hyperbolische Ebene. Es gilt dann

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle av+bw,cv+dw\rangle=ad-bc.}

Klassifikation symplektischer Räume

Mittels eines geeignet modifizierten Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahrens lässt sich zeigen: Jeder endlichdimensionale symplektische Vektorraum hat gerade Dimension 2n, und es gibt eine Basis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{e_1,\ldots,e_n,f_1,\ldots,f_n\}} mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle e_i,e_j\rangle = 0}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle f_i,f_j\rangle = 0}

$\langle e_{i},f_{j}\rangle =\delta _{ij}$ (Kronecker-Symbol).

Insbesondere sind alle symplektischen Räume der Dimension 2n isometrisch. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e_i} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_i} spannen für jedes i eine hyperbolische Ebene auf, der ganze symplektische Raum ist also eine orthogonale direkte Summe hyperbolischer Ebenen. Eine Basis der obigen Form wird als Darboux-Basis oder symplektische Basis bezeichnet. In der Physik werden die Elemente e_i und f_i als „kanonisch-konjugiert“ bezeichnet (z. B. Orts- bzw. Impuls-Variablen) und das symplektische Skalarprodukt ist identisch mit der sogenannten Poisson-Klammer.

Die Automorphismen eines symplektischen Raumes bilden die symplektische Gruppe.

Symplektische Mannigfaltigkeit

→ Hauptartikel: Symplektische Mannigfaltigkeit

Symplektische Vektorräume sind die Grundlage für den Begriff der symplektischen Mannigfaltigkeit, der eine Rolle im Hamilton-Formalismus spielt. Genauso wie die symplektischen Vektorräume werden auch die symplektischen Mannigfaltigkeiten kurz symplektische Räume genannt. Analog zur symplektischen Bilinearform gibt es auf diesen Mannigfaltigkeiten ebenfalls symplektische Formen; hierbei handelt es sich um spezielle Differentialformen (eine Verallgemeinerung der alternierenden Bilinearformen).

Literatur

• Rolf Berndt (Mathematiker): Einführung in die Symplektische Geometrie (= Advanced Lectures in Mathematics). Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig/Wiesbaden 1998, ISBN 978-3-528-03102-2.
• Rolf Berndt (Mathematiker): An Introduction to Symplectic Geometry (= Graduate Studies in Mathematics 26). American Mathematical Society, Providence RI 2001, ISBN 0-8218-2056-7.
• Serge Lang: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics 211). Revised 3rd edition. Springer, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95385-X, Chapter XV, § 8.