Hufeisen-Abbildung

Die Hufeisen-Abbildung (oder Hufeisen-Mapping) ist eine nichtlineare Abbildung, die in der Chaostheorie verwendet wird. Sie wurde von dem Mathematiker Stephen Smale eingeführt und dient dazu, grundlegende Eigenschaften dynamischer Systeme zu untersuchen.

Definition

Ablauf einer Iteration in der Hufeisen-Abbildung.

Die Abbildung wird geometrisch definiert: Ein Quadrat wird zuerst gestaucht und dann gestreckt. Im nächsten Schritt wird der entstandene Streifen in die Form eines Hufeisens umgebogen (siehe Bild). Wird diese Vorschrift wiederholt angewandt, werden die meisten Punkte innerhalb des Ursprungsquadrates dieses verlassen haben und zu einem Fixpunkt in einer der „Kappen“ außerhalb des Quadrates konvergieren (grüne Bereiche im Bild). Die übrigen Punkte bilden bei wiederholter Iteration eine fraktale Menge.

Siehe auch: Nichtlineare Dynamik, Bäcker-Transformation

Literatur

• S. Smale: Differentiable dynamical systems. In: Bulletin of the American Mathematical Society. 73/1967, S. 747–817,
• P. Cvitanović, G. Gunaratne, I. Procaccia: Topological and metric properties of Hénon-type strange attractors. In: Physical Review A. 38/1988, S. 1503–1520, ,
• A. de Carvalho: Pruning fronts and the formation of horseshoes. In: Ergodic theory and dynamical systems. 19/1999, S. 851–894,
• A. de Carvalho, T. Hall: How to prune a horseshoe. In: Nonlinearity, 15/2002, S. R19-R68,

Weblinks

• Michael Shub: What is a horse shoe? (PDF; 111 kB) Notices AMS, Mai 2005
• Vorlesungsskript zu „Dynamical Systems“ mit Beschreibung der Hufeisen-Abbildung (Memento vom 11. März 2007 im Internet Archive) (englisch)