Hull-White-Modell

In der Finanzmathematik wird unter dem Hull-White-Modell ein spezielles Momentanzinsmodell zur Beschreibung von Zinsstrukturen verstanden. Es handelt sich um eine Erweiterung des Vasicek-Modell.

Das Modell wurde erstmals 1990 von den beiden Mathematikern John C. Hull und Alan White beschrieben.

Definition

Das Hull-White-Modell ist ein Momentanzinsmodell, welches den Momentanzins (engl. short rate) $r(t)$ modelliert. Es erfüllt in seiner allgemeinsten Fassung unter dem risikoneutralen Maß folgende stochastische Differentialgleichung:

$dr(t)=\left(\theta (t)-a(t)r(t)\right)dt+\sigma (t)\,dW(t),\quad r(0)=r_{0}\in \mathbb {R}$

Dabei handelt es sich bei $W(t)$ um einen Wiener-Prozess und bei $\theta (t),a(t)$ und $\sigma (t)$ um zeitabhängige Konstanten.

Aufgrund von Schwierigkeiten bei der Kalibrierung der Parameter, hat sich in der Praxis die Fassung des Modells durchgesetzt, bei der $a(t)=a$ und $\sigma (t)=\sigma$ als zeitunabhängig vorausgesetzt werden, sprich es gilt:

$dr(t)=\left(\theta (t)-ar(t)\right)dt+\sigma \,dW(t),\quad r(0)=r_{0}\in \mathbb {R}$.

Die Parameter $a$ und $\sigma$ lassen sich hierbei als Rückstellkraft bzw. als Volatilität des Prozesses interpretieren. $\theta (t)$ kann mit diesem Ansatz so gewählt werden, dass die durch das Modell induzierte Zinsstrukturkurve zum Zeitpunkt $t=0$ mit der am Markt beobachteten Zinsstrukturkurve übereinstimmt. Genauer gilt in diesem Fall

$\theta (t)={\frac {\partial f^{M}(0,t)}{\partial t}}+af^{M}(0,t)+{\frac {\sigma ^{2}}{2a}}(1-e^{-2at})$,

wobei $f^{M}(0,t):=-{\frac {\partial \ln \left(P^{M}(0,t)\right)}{\partial t}}$ die aktuell am Markt beobachtete instantaneous forward rate ist.

Eigenschaften

Lösung

Die oben angegebene stochastische Differentialgleichung kann mittels dem Lemma von Itō gelöst werden. Die Lösung mit Anpassung an den aktuellen Marktdaten lautet

$r(t)=\alpha (t)+\sigma \int _{0}^{t}e^{-a(t-u)}\,dW(u)$,

wobei $\alpha (t)=f^{M}(0,t)+{\frac {\sigma ^{2}}{2a^{2}}}(1-e^{-at})^{2}$.

Verteilung

$r(t)$ ist normalverteilt mit Erwartungswert

$E\left[r(t)\right]=\alpha (t)=f^{M}(0,t)+{\frac {\sigma ^{2}}{2a^{2}}}(1-e^{-at})^{2}$

und Varianz

$\operatorname {Var} \left[r(t)\right]={\frac {\sigma ^{2}}{2a}}\left[1-e^{-2at}\right]$.

Literatur

• Damiano Brigo, Fabio Mercurio (2001). Interest Rate Models – Theory and Practice with Smile, Inflation and Credit (2nd ed. 2006 ed.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.