Integralexponentialfunktion

Darstellung der Funktionen $\operatorname {E_{1}} (x)$

Darstellung der Funktionen $\operatorname {Ei} (x)$

Darstellung der Funktionen $\operatorname {li} (x)$

Darstellung der Funktionen $\operatorname {Ein} (x)$

In der Mathematik ist die Integralexponentialfunktion $\operatorname {Ei} (x)$ als

$\operatorname {Ei} (x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t$

definiert.

Da ${\tfrac {1}{t}}$ bei $t=0$ divergiert, ist das obige Integral für $x>0$ als cauchyscher Hauptwert zu verstehen.

Die Integralexponentialfunktion hat die Reihendarstellung

$\operatorname {Ei} (x)=\gamma +\ln \left|x\right|+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!\cdot k}}\ ,$

wobei $\ln$ der natürliche Logarithmus und $\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante ist.

Die Integralexponentialfunktion ist eng mit dem Integrallogarithmus $\operatorname {li} (x)$ verwandt, es gilt

$\operatorname {li} (x)=\operatorname {Ei} (\ln x)\quad 0<x\neq 1.$

Ebenfalls eng verwandt ist eine Funktion, die über einen anderen Integrationsbereich integriert:

$\operatorname {E} _{1}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tx}}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t.$

Diese Funktion kann als Erweiterung der Integralexponentialfunktion auf negative reelle Werte aufgefasst werden, da

$\operatorname {Ei} (-x)=-\operatorname {E} _{1}(x).$

Mithilfe der ganzen Funktion

$\operatorname {Ein} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k!k}}$

lassen sich die anderen beiden als

$\operatorname {E} _{1}(x)=-\gamma -\ln x+\operatorname {Ein} (x)$

bzw.

$\operatorname {Ei} (x)=\gamma +\ln x-\operatorname {Ein} (-x)$

darstellen.

Die Integralexponentialfunktion ist ein Spezialfall der unvollständigen Gammafunktion

$E_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).$

Sie kann auch als

$E_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,\mathrm {d} t\quad \Re (x)>0$

verallgemeinert werden.

Literatur

• William H. Press et al.: Numerical Recipes (FORTRAN). Cambridge University Press, New York 1989.
• Milton Abramowitz, Irene A. Stegun (Hrsg.): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover, New York 1972. (Siehe Kapitel 5).
• R. D. Misra: Proc. Cambridge Phil. Soc. Band 36, 1940, S. 173 (Bitte überprüfen! Nach JFM zweifelhaft, befremdlicher Titel: On the stability of crystal lattices. II, S. 173–182)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Exponential Integral. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: En-Function. In: MathWorld (englisch).
• Maxim Lwowitsch Konzewitsch: Exponential Integral. Vorlesungsreihe (englisch), 2015.