Integrallogarithmus

Funktionsgraph von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{li}(x)} im Bereich zwischen 0 und 10

Der Integrallogarithmus ist eine analytische Funktion auf den reellen Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \ge 0,\; x \ne 1} (oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x > 1} ) in die reellen Zahlen. Sie hat praktische Relevanz in einigen Gebieten der Physik wie der Quantenfeldtheorie und bei der Lösung der Laplace-Gleichung in Halbleitern sowie in der Zahlentheorie, da sie eng mit der Dichte der Primzahlen verknüpft ist.

Definition

Es sind zwei Definitionen üblich, die sich um eine Konstante unterscheiden. Für eine der wichtigsten Anwendungen – als asymptotische Vergleichsgröße für die Primzahlfunktion im Primzahlsatz – spielt der Unterschied zwischen den beiden Definitionen keine Rolle.

Eine Definition im Bereich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \ge 0} lautet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{li}(x) = \int_0^x \frac{\mathrm dt}{\ln t}\ ,}

dabei muss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{li}} wegen der Singularität bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 1} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x > 1} über einen Grenzwert definiert werden (cauchyscher Hauptwert):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{li}(x) = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left(\int_0^{1-\varepsilon} \frac{\mathrm dt}{\ln t} + \int_{1+\varepsilon}^x \frac{\mathrm dt}{\ln t}\right)\ .}

Eine andere Definition für $x>1$ ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2) = \int_2^x \frac{\mathrm dt}{\ln t}\ .}

Bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=1} liegt keine Polstelle, sondern eine logarithmische Singularität vor.

Eigenschaften

Funktionsgraph von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{li}(x)} im Bereich zwischen 0 und 2 (umfasst 0, 1, µ und 2)

Einige Werte:

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{li}(0) = 0}
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{li}(1) = -\infty}
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{li}(\mu) = 0}
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{li}(2) = 1{,}04516\;37801\;17492\;78484\ldots} (Folge A069284 in OEIS)

Dabei ist $\mu =1{,}45136\;92348\;83381\;05028\ldots$ (Folge A070769 in OEIS) die Ramanujan-Soldner-Konstante.

Es gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)} mit der Integralexponentialfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Ei}} , daraus erhält man die Reihendarstellung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{li}(x) = \gamma + \ln\left|\ln x\right| + \sum_{k=1}^\infty \frac{(\ln x)^k}{k\cdot k!}\ ,}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma = 0{,}57721\;56649\;01532\;86060\ldots} (Folge A001620 in OEIS) die Euler-Mascheroni-Konstante ist.

Aus der Definition von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{li}} erhält man durch lineare Substitution

$\operatorname {li} (x)=x\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln(x\,t)}}\ ,$

wobei für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x > 1} wegen der Singularität bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = 1/x} der cauchysche Hauptwert eingesetzt werden muss.
Ferner haben wir für $x\geq 0,x\neq 1$

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_0^x \operatorname{li}(t)\,{\mathrm dt} = x\,\operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(x^2).}

Außerdem gilt für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p > -1, p \not= 0}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_0^1 \operatorname{li}(t)\,t^{p-1}\,\mathrm dt = -\tfrac1{p} \ln(p+1),}

für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p = 1} erhält man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle\int_0^1 \operatorname{li}(t)\,\mathrm dt = -\ln 2.}
Im Grenzfall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p = 0} ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle\int_0^1 \operatorname{li}(t)\,t^{-1}\,\mathrm dt = -1.}

Eine weitere Formel ist $\textstyle \int _{0}^{1}\operatorname {li} (t^{-1})\,t\,\mathrm {d} t=\textstyle \int _{1}^{\infty }\operatorname {li} (t)\,t^{-3}\,\mathrm {d} t=0.$

Die Golomb-Dickman-Konstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda = \textstyle\int_0^1 \mathrm{e}^{\operatorname{li}(x)}\mathrm dx = 0{,}62432\;99885\;43550\;87099\ldots} (Folge A084945 in OEIS) tritt in der Theorie zufälliger Permutationen bei der Abschätzung der Länge des längsten Zykels einer Permutation und in der Zahlentheorie bei der Abschätzung der Größe des größten Primfaktors einer Zahl auf.

Asymptotisches Verhalten

[[Hilfe:Cache|Fehler beim Thumbnail-Erstellen]]:

Funktionsgraph von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{li}(x)} im Bereich zwischen 1 und 10¹³

Für große Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} lässt sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{li}(x)} durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{li}(x) = 0!\,\frac{x}{\ln x} + 1!\,\frac{x}{\ln^2 x} + 2!\,\frac{x}{\ln^3 x} + 3!\,\frac{x}{\ln^4 x} + \dotsb}

approximieren. Die Reihe ist eine asymptotische Entwicklung; sie konvergiert nicht, sondern nähert sich dem wahren Wert an, um sich dann wieder zu entfernen. Die beste Approximation wird nach etwa $\ln x$ Gliedern erreicht, dann werden die Summanden größer durch die stärker werdende Wirkung der Fakultät.

Siehe auch

• Integralsinus
• Integralcosinus

Literatur

• Johann Georg Soldner: Théorie et tables d’une nouvelle fonction transcendante. Lindauer, München 1809 (französisch; bei Google Books)
• Niels Nielsen: Theorie des Integrallogarithmus und verwandter Transzendenten, B. G. Teubner, Leipzig 1906 (archive.org)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Logarithmic Integral. In: MathWorld (englisch).
• Logarithmic integral. bei The Wolfram Functions Site (englisch; mit Berechnungsmöglichkeit)