Kan-Komplex

In der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Kan-Komplexe ein Hilfsmittel zur kombinatorischen Definition von Homotopiegruppen.

Definition

Der violette 2-Simplex $\sigma$ hat die schwarzen Kanten $\tau _{0},\tau _{2}$ als Ränder: $\partial _{0}\sigma =\tau _{0},\partial _{2}\sigma =\tau _{2}$.

Eine simpliziale Menge ist ein Kan-Komplex, wenn sie die Kan-Erweiterungs-Eigenschaft erfüllt:

Für alle $n\in \mathbb {N} ,0\leq k\leq n+1$ und jede $(n+1)$-elementige Menge $\left\{\tau _{0},\ldots ,\tau _{k-1},\tau _{k+1},\ldots \tau _{n+1}\right\}$ von $n$-Simplizes mit $\partial _{i}\tau _{j}=\partial _{j-1}\tau _{i}$ für alle $i<j$ gibt es ein $(n+1)$-Simplex $\sigma$ mit $\partial _{i}\sigma =\tau _{i}$ für $i=0,\ldots ,k-1,k+1,\ldots ,n+1$.

Homotopiegruppen

D. M. Kan gab eine kombinatorische Definition von Homotopiegruppen für Kan-Komplexe.

Beispiel

Sei $X$ ein topologischer Raum. Die singuläre simpliziale Menge $S_{*}(X)$ sei wie folgt definiert. Die $n$-Simplizes in $S_{n}(X)$ sind die stetigen Abbildungen des Standard-$n$-Simplexes nach $X$. Die Randabbildungen von $S_{*}(X)$ werden von den Randabbildungen $\Delta ^{n-1}\to \Delta ^{n}$ induziert.

$S_{*}(X)$ ist ein Kan-Komplex, seine Homotopiegruppen (im Sinne von Kan) stimmen mit den Homotopiegruppen von $X$ überein.

Literatur

• J. Peter May: Simplicial objects in algebraic topology. Reprint of the 1967 original. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL 1992, ISBN 0-226-51181-2.

Weblinks

• G. Friedman: an elementary illustrated introduction to simplicial sets