Koerzitive Funktion

In der Mathematik wird eine reellwertige Funktion als koerzitiv (oder koerziv) bezeichnet, falls die Funktionswerte gegen positiv unendlich streben, wenn die Norm der Eingabewerte gegen unendlich strebt.

Definition

Sei Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \left(X,\|\cdot \|\right)} ein normierter Raum und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle f\colon X\rightarrow \mathbb {R} } eine reellwertige Funktion auf $X$. Die Funktion $f$ heißt koerzitiv, falls für alle Folgen $\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\subset X$ mit $\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\left\|x_{n}\right\|=+\infty$ gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim\limits_{n \rightarrow \infty} f(x_n) = +\infty} .

Motivation

Im Allgemeinen nehmen stetige Funktionen auf nicht-kompakten Mengen kein Minimum oder Maximum an, z. B. realisiert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto x^3} das Maximum und das Minimum nicht. Diese Funktion ist nach unten und nach oben unbeschränkt und nicht koerzitiv. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\colon\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto x^2} ist hingegen koerzitiv und nimmt das Minimum (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 = g(0)} ) an.

Folgender Satz macht klar, unter welchen Bedingungen eine koerzitive Funktion ihr Minimum tatsächlich annimmt:

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ein reflexiver Banachraum und $f\colon X\rightarrow \mathbb {R}$ erfülle wenigstens eine der folgenden Bedingungen:

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} ist schwach halbstetig von unten und koerzitiv
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} ist stetig, konvex und koerzitiv

Dann nimmt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} das Minimum an.

Erweiterung auf Sesquilinearformen

Eine komplexwertige Sesquilinearform Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B\colon X \times X \rightarrow \mathbb{C}} wird als koerzitiv bezeichnet, falls die Funktion Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x\mapsto B(x,x)} reellwertig und koerzitiv ist. Diese Eigenschaft findet z. B. im Lemma von Lax-Milgram Anwendung.

Der Begriff darf nicht mit der Koerzitivfeldstärke verwechselt werden.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, 2005. ISBN 3-540-43586-7