Der Kommensurator von Untergruppen ist ein Begriff aus der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik.
Definition
Der Kommensurator der Untergruppe
einer Gruppe
, bezeichnet mit
oder, falls die Gruppe
aus dem Kontext ersichtlich ist, auch mit
, ist
.
Der Kommensurator ist eine Untergruppe von
.
Beispiele
- Wenn
eine abelsche Gruppe ist, dann ist
für jede Untergruppe
.
- Allgemeiner, wenn
ein Normalteiler ist, dann ist
.
- Der Kommensurator eines
-Faktors im freien Produkt
ist
.
- Allgemeiner, der Kommensurator einer quasikonvexen Untergruppe
einer hyperbolischen Gruppe
ist
.
- Der Kommensurator von
in
ist
.
Anwendung: Charakterisierung arithmetischer Gitter
Satz (Margulis): Ein irreduzibles Gitter
in einer halbeinfachen Lie-Gruppe
ist arithmetisch dann und nur dann, wenn
unendlichen Index in seinem Kommensurator hat, also wenn
.
Literatur
- Zimmer, Robert J.: Ergodic theory and semisimple groups. Monographs in Mathematics, 81. Birkhäuser Verlag, Basel, 1984. ISBN 3-7643-3184-4