Konstruierbares Polygon

Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks

In der Mathematik ist ein konstruierbares Polygon ein regelmäßiges Polygon, das mit Zirkel und (unmarkiertem) Lineal – den Euklidischen Werkzeugen – konstruiert werden kann. Zum Beispiel ist das regelmäßige Fünfeck konstruierbar, das regelmäßige Siebeneck hingegen nicht.

Konstruierbarkeit

Anwendungsbeispiel Höhensatz
Durch die Ergänzung der konstruierten Zahl

a>0

mit

|BC|

= 1 ist mittels Thaleskreis

{\sqrt {a}}

konstruierbar.
Zahlenbeispiel:

a=9;

\;1={\frac {a}{9}};

\;{\sqrt {a}}={\sqrt {9}}

Um den Begriff „mit Zirkel und Lineal konstruierbar“ mathematisch präzise zu erfassen, muss definiert werden, was mit diesen Werkzeugen möglich ist. Wir gehen davon aus, dass am Anfang einer jeden Konstruktion zwei Punkte gegeben sind. Mit dem Lineal kann man dann eine Gerade durch zwei Punkte konstruieren, mit dem Zirkel einen Kreis durch einen Punkt um einen anderen Punkt als Mittelpunkt. Außerdem seien die Schnittpunkte von Geraden und Kreisen konstruierbar.

Aus diesen Grundkonstruktionen lassen sich eine Reihe weiterer Konstruktionen ableiten, wie die Konstruktion einer Mittelsenkrechte oder das Fällen eines Lotes. Man nennt dann eine positive reelle Zahl konstruierbar, wenn man zwei Punkte konstruieren kann, sodass der euklidische Abstand zwischen ihnen gleich dem Betrag dieser Zahl ist (wobei der Abstand zweier vorgegebener Punkte als 1 definiert wird). Ist beispielsweise die Zahl $a>0$ konstruierbar, so kann man mit Hilfe des Höhensatzes zwei Punkte mit Abstand ${\sqrt {a}}$ konstruieren. Sind zwei Zahlen $a$ und $b$ konstruierbar, so mit Hilfe des Strahlensatzes auch deren Produkt $ab$ und der Kehrwert ${\frac {1}{a}}$ , sowie durch Abgreifen eines Abstandes deren Summe $a+b$ und Differenz $a-b$ .→ Siehe zu den algebraische Operationen auch den Artikel Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Ein Winkel $\alpha$ heiße konstruierbar, wenn die Zahl $\cos(\alpha )$ konstruierbar ist; der Sinn dieser Definition erschließt sich schnell durch Betrachten des Einheitskreises.

Um nun ein regelmäßiges $n$ -Eck zu konstruieren, genügt es, den Zentriwinkel ${\frac {2\pi }{n}}$ zu konstruieren, denn wenn man den Mittelpunkt des $n$ -Ecks und eine Ecke gegeben hat, lässt sich ausgehend von der Verbindungsgeraden durch Mittelpunkt und Eckpunkt der nächste Eckpunkt konstruieren. Ist umgekehrt ein regelmäßiges $n$ -Eck gegeben, so kann man den Zentriwinkel abgreifen. Zur Beantwortung der Frage, ob das $n$ -Eck konstruierbar ist, ist man also auf den Fall zurückgeführt, zu entscheiden, ob der Zentriwinkel konstruierbar ist.

Konstruierbarkeit von Zahlen

Eine Zahl heißt genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn sie z. B. eine ganze Zahl, eine Dezimalzahl mit endlicher Anzahl Nachkommastellen oder die positive Wurzel aus einer dieser Zahlen (siehe Anwendungsbeispiel Höhensatz) ist, genauer gesagt die Länge einer Strecke ist, die wie hier beschrieben konstruiert werden kann.

In der synthetischen Geometrie werden auch Punkte und Zahlen untersucht, die etwas allgemeiner aus einer (fast) beliebigen Vorgabemenge von Streckenlängen konstruiert werden können. Dazu werden Körpererweiterungen der rationalen Zahlen betrachtet, die euklidische Körper und damit Koordinatenkörper einer euklidischen Ebene (im Sinne der synthetischen Geometrie) sind. Die Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal einer Zahl bedeutet dann, dass sie eine Koordinate eines aus den Vorgaben konstruierbaren Punktes in der Ebene ist. → Siehe zu diesen Begriffsbildungen auch den Artikel euklidischer Körper!

Kriterium für Konstruierbarkeit

Carl Friedrich Gauß zeigte 1796, dass das regelmäßige Siebzehneck konstruierbar ist. Dazu wies er nach, dass die Zahl $\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)$ als Ausdruck dargestellt werden kann, der nur ganze Zahlen, arithmetische Grundoperationen und verschachtelte Quadratwurzeln enthält. Durch die in seinen Disquisitiones Arithmeticae entwickelte Theorie gelang es Gauß fünf Jahre später, eine hinreichende Bedingung für die Konstruktion regelmäßiger Polygone anzugeben:

Wenn $n$ das Produkt einer Potenz von 2 mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist, dann ist das regelmäßige $n$ -Eck konstruierbar.^[1]

Gauß wusste zwar, dass die Bedingung auch notwendig ist, hat allerdings seinen Beweis hierfür nicht veröffentlicht. Pierre-Laurent Wantzel holte dies 1837 nach.

Man kann zeigen, dass eine Zahl $n\geq 2$ genau dann das Produkt einer Potenz von 2 mit verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist, wenn $\varphi (n)$ eine Potenz von 2 ist. Hierbei bezeichnet $\varphi$ die Eulersche φ-Funktion.

Zusammenfassend: Für eine Zahl $n\geq 3$ sind die folgenden Aussagen äquivalent:

Das regelmäßige $n$ -Eck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
$n=2^{k}p_{1}\cdots p_{m}$ mit $k\in \mathbb {N} _{0}$ und $m\in \mathbb {N} _{0}$ paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen $p_{1},\dots ,p_{m}$ .

Dabei steht das für m=0 sich ergebende leere Produkt definitionsgemäß für die Zahl 1.

$\varphi (n)=2^{r}$ für ein $r\in \mathbb {N}$ .

Sind insbesondere $m$ und $n$ teilerfremd und sowohl das $m$ -Eck als auch das $n$ -Eck konstruierbar, so ist wegen $\varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)$ auch das $mn$ -Eck konstruierbar. Für diese Tatsache lässt sich auch direkt die geometrische Konstruktion angeben, denn wenn $m$ und $n$ teilerfremd sind, so gibt es nach dem Lemma von Bézout zwei ganze Zahlen $a$ und $b$ mit $1=am+bn.$ Indem man nun $a$ -mal den Zentriwinkel des $n$ -Ecks und $b$ -mal den Zentriwinkel des $m$ -Ecks anlegt, hat man den Winkel $a{\frac {2\pi }{n}}+b{\frac {2\pi }{m}}={\frac {2\pi }{mn}}$ – und damit auch das $mn$ -Eck – konstruiert.

Konkrete Konsequenzen des Kriteriums

Trotz intensiver Suche wurden über die fünf bereits Gauß bekannten Fermatschen Primzahlen 3, 5, 17, 257 und 65537 hinaus bis heute keine weiteren gefunden. Es besteht sogar die plausible Vermutung, dass es keine weiteren Fermatschen Primzahlen gibt.

Sollte es tatsächlich nur fünf Fermatsche Primzahlen (FP) geben, dann sind unter den Polygonen mit ungerader (!) Eckenzahl genau die folgenden 31 theoretisch konstruierbar:^[2]

Eckenzahl	Produkt FP

3	$3$
5	$5$
15	$3\cdot 5$
17	$17$
51	$3\cdot 17$
85	$5\cdot 17$
255	$3\cdot 5\cdot 17$

Eckenzahl	Produkt FP
257	$257$
771	$3\cdot 257$
1.285	$5\cdot 257$
3.855	$3\cdot 5\cdot 257$
4.369	$17\cdot 257$
13.107	$3\cdot 17\cdot 257$
21.845	$5\cdot 17\cdot 257$
65.535	$3\cdot 5\cdot 17\cdot 257$

Eckenzahl	Produkt FP
65.537	$65537$
196.611	$3\cdot 65537$
327.685	$5\cdot 65537$
983.055	$3\cdot 5\cdot 65537$
1.114.129	$17\cdot 65537$
3.342.387	$3\cdot 17\cdot 65537$
5.570.645	$5\cdot 17\cdot 65537$
16.711.935	$3\cdot 5\cdot 17\cdot 65537$

Eckenzahl	Produkt FP
16.843.009	$257\cdot 65537$
50.529.027	$3\cdot 257\cdot 65537$
84.215.045	$5\cdot 257\cdot 65537$
252.645.135	$3\cdot 5\cdot 257\cdot 65537$
286.331.153	$17\cdot 257\cdot 65537$
858.993.459	$3\cdot 17\cdot 257\cdot 65537$
1.431.655.765	$5\cdot 17\cdot 257\cdot 65537$
4.294.967.295	$3\cdot 5\cdot 17\cdot 257\cdot 65537$

Alle anderen konstruierbaren Polygone (dann mit gerader Eckenzahl) sind das Quadrat oder sie ergeben sich durch (fortgesetztes) Verdoppeln der Eckenzahl.

Für das Dreieck, Fünfeck, Siebzehneck und 257-Eck sind Konstruktionsanweisungen bekannt, eine angeblich existierende Konstruktionsanweisung für das 65537-Eck ist – sofern sie existiert – nicht zugänglich oder verifiziert. Damit liegen nur für die ungeraden Polygone bis zum 65535-Eck Konstruktionsanweisungen vor.

Lässt man zur Konstruktion zusätzlich ein Hilfsmittel zur Dreiteilung eines Winkels (Trisektion) zu, so sind alle regelmäßigen Polygone mit Eckenzahlen der Form $n=2^{r}3^{s}p_{1}\cdots p_{k}$ konstruierbar, wobei $p_{1},\ldots ,p_{k}$ mit $k\in \mathbb {N} _{0}$ verschiedene Pierpont-Primzahlen größer als drei der Form $2^{t}3^{u}+1$ sind. Auf diese Weise sind beispielsweise auch das Siebeneck^[3], das Neuneck und das Dreizehneck konstruierbar.

Werden als zusätzliche Hilfsmittel z. B. die Quadratrix des Hippias oder die archimedische Spirale akzeptiert, die neben der Dreiteilung auch Teilungen mit $n$ gleich große Winkel ermöglichen, wie das Beispiel Neunzehneck zeigt, sind theoretisch sämtliche regelmäßige Polygone konstruierbar.

Daraus folgt: Lässt man als zusätzliches Hilfsmittel nur die Dreiteilung eines Winkels (Trisektion) zu, ergibt sich für regelmäßige Polygone bis zum 1000-Eck folgende Tabelle für die Konstruktion mit Zirkel und Lineal (J), bzw. zusätzlich Trisektion (T) oder nicht (N):

Eckenzahl			3	4	5	6	7	9	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
Konstruierbar			J	J	J	J	T	J	T	J	N	J	T	T	J	J	J	T	T	J	T	N	N	J	N

Eckenzahl	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
Konstruierbar	T	T	T	N	J	N	J	N	J	T	T	T	T	T	J	N	T	N	N	T	N	N	J	N	N

Eckenzahl	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75
Konstruierbar	J	T	N	T	N	T	T	N	N	J	N	N	T	J	T	N	N	J	N	T	N	T	T	T	N

Eckenzahl	76	77	78	79	80	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
Konstruierbar	T	N	T	N	J	T	N	N	T	J	N	N	N	N	T	T	N	N	N	T	J	T	N	N	N

Eckenzahl	101	102	103	104	105	106	107	108	109	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120	121	122	123	124	125
Konstruierbar	N	J	N	T	T	N	N	T	T	N	T	T	N	T	N	N	T	N	T	J	N	N	N	N	N

Eckenzahl	126	127	128	129	130	131	132	133	134	135	136	137	138	139	140	141	142	143	144	145	146	147	148	149	150
Konstruierbar	T	N	J	N	T	N	N	T	N	T	J	N	N	N	T	N	N	N	T	N	T	N	T	N	N

Eckenzahl	151	152	153	154	155	156	157	158	159	160	161	162	163	164	165	166	167	168	169	170	171	172	173	174	175
Konstruierbar	N	T	T	N	N	T	N	N	N	J	N	T	T	N	N	N	N	T	N	J	T	N	N	N	N

Eckenzahl	176	177	178	179	180	181	182	183	184	185	186	187	188	189	190	191	192	193	194	195	196	197	198	199	200
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Eckenzahl	201	202	203	204	205	206	207	208	209	210	211	212	213	214	215	216	217	218	219	220	221	222	223	224	225
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Eckenzahl	226	227	228	229	230	231	232	233	234	235	236	237	238	239	240	241	242	243	244	245	246	247	248	249	250
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Eckenzahl	251	252	253	254	255	256	257	258	259	260	261	262	263	264	265	266	267	268	269	270	271	272	273	274	275
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Eckenzahl	276	277	278	279	280	281	282	283	284	285	286	287	288	289	290	291	292	293	294	295	296	297	298	299	300
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Eckenzahl	301	302	303	304	305	306	307	308	309	310	311	312	313	314	315	316	317	318	319	320	321	322	323	324	325
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Eckenzahl	326	327	328	329	330	331	332	333	334	335	336	337	338	339	340	341	342	343	344	345	346	347	348	349	350
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Eckenzahl	351	352	353	354	355	356	357	358	359	360	361	362	363	364	365	366	367	368	369	370	371	372	373	374	375
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Eckenzahl	376	377	378	379	380	381	382	383	384	385	386	387	388	389	390	391	392	393	394	395	396	397	398	399	400
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Eckenzahl	401	402	403	404	405	406	407	408	409	410	411	412	413	414	415	416	417	418	419	420	421	422	423	424	425
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Eckenzahl	426	427	428	429	430	431	432	433	434	435	436	437	438	439	440	441	442	443	444	445	446	447	448	449	450
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Eckenzahl	451	452	453	454	455	456	457	458	459	460	461	462	463	464	465	466	467	468	469	470	471	472	473	474	475
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Eckenzahl	476	477	478	479	480	481	482	483	484	485	486	487	488	489	490	491	492	493	494	495	496	497	498	499	500
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Eckenzahl	501	502	503	504	505	506	507	508	509	510	511	512	513	514	515	516	517	518	519	520	521	522	523	524	525
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Eckenzahl	526	527	528	529	530	531	532	533	534	535	536	537	538	539	540	541	542	543	544	545	546	547	548	549	550
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Eckenzahl	551	552	553	554	555	556	557	558	559	560	561	562	563	564	565	566	567	568	569	570	571	572	573	574	575
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Eckenzahl	576	577	578	579	580	581	582	583	584	585	586	587	588	589	590	591	592	593	594	595	596	597	598	599	600
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Eckenzahl	601	602	603	604	605	606	607	608	609	610	611	612	613	614	615	616	617	618	619	620	621	622	623	624	625
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Eckenzahl	626	627	628	629	630	631	632	633	634	635	636	637	638	639	640	641	642	643	644	645	646	647	648	649	650
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Eckenzahl	651	652	653	654	655	656	657	658	659	660	661	662	663	664	665	666	667	668	669	670	671	672	673	674	675
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Eckenzahl	676	677	678	679	680	681	682	683	684	685	686	687	688	689	690	691	692	693	694	695	696	697	698	699	700
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Eckenzahl	701	702	703	704	705	706	707	708	709	710	711	712	713	714	715	716	717	718	719	720	721	722	723	724	725
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Eckenzahl	726	727	728	729	730	731	732	733	734	735	736	737	738	739	740	741	742	743	744	745	746	747	748	749	750
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Eckenzahl	751	752	753	754	755	756	757	758	759	760	761	762	763	764	765	766	767	768	769	770	771	772	773	774	775
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Eckenzahl	776	777	778	779	780	781	782	783	784	785	786	787	788	789	790	791	792	793	794	795	796	797	798	799	800
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Eckenzahl	801	802	803	804	805	806	807	808	809	810	811	812	813	814	815	816	817	818	819	820	821	822	823	824	825
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Eckenzahl	826	827	828	829	830	831	832	833	834	835	836	837	838	839	840	841	842	843	844	845	846	847	848	849	850
Konstruierbar	N	N	N	N	N	N	T	N	N	N	N	N	N	N	T	N	N	N	N	N	N	N	N	N	N

Eckenzahl	851	852	853	854	855	856	857	858	859	860	861	862	863	864	865	866	867	868	869	870	871	872	873	874	875
Konstruierbar	N	N	N	N	T	N	N	N	N	N	N	N	N	T	N	T	N	N	N	N	N	T	T	N	N

Eckenzahl	876	877	878	879	880	881	882	883	884	885	886	887	888	889	890	891	892	893	894	895	896	897	898	899	900
Konstruierbar	T	N	N	N	N	N	N	N	T	N	N	N	T	N	N	N	N	N	N	N	T	N	N	N	N

Eckenzahl	901	902	903	904	905	906	907	908	909	910	911	912	913	914	915	916	917	918	919	920	921	922	923	924	925
Konstruierbar	N	N	N	N	N	N	N	N	N	T	N	T	N	N	N	N	N	T	N	N	N	N	N	N	N

Eckenzahl	926	927	928	929	930	931	932	933	934	935	936	937	938	939	940	941	942	943	944	945	946	947	948	949	950
Konstruierbar	N	N	N	N	N	N	N	N	N	N	T	N	N	N	N	N	N	N	N	T	N	N	N	T	N

Eckenzahl	951	952	953	954	955	956	957	958	959	960	961	962	963	964	965	966	967	968	969	970	971	972	973	974	975
Konstruierbar	N	T	N	N	N	N	N	N	N	J	N	T	N	N	T	N	N	N	T	T	N	T	N	T	N

Eckenzahl	976	977	978	979	980	981	982	983	984	985	986	987	988	989	990	991	992	993	994	995	996	997	998	999	1000
Konstruierbar	N	N	T	N	N	T	N	N	N	N	N	N	T	N	N	N	N	N	N	N	N	N	N	T	N

Eckenzahlen konstruierbarer Polygone findet man auch in der Folge A003401 in OEIS, Eckenzahlen nicht klassisch konstruierbarer Polygone in der Folge A004169 in OEIS.

Galoistheorie

Durch Entwicklung der Galoistheorie gelangte man zu einer tieferen Einsicht in das Problem. Die Menge der konstruierbaren Zahlen bildet nämlich einen Körper, in dem zusätzlich auch aus positiven Zahlen die Quadratwurzel gezogen werden kann. Insbesondere entspricht das Schneiden von Geraden dem Lösen einer linearen Gleichung und das Schneiden einer Geraden mit einem Kreis oder das Schneiden zweier Kreise dem Lösen einer quadratischen Gleichung. In der Sprache der Körpererweiterungen ist das folgende Tatsache:

Ist

a

eine konstruierbare Zahl, so gibt es einen Körperturm

\mathbb {Q} \subsetneq M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \dots \subsetneq M_{m}

, so dass

a\in M_{m}

und

M_{i+1}=M_{i}[{\sqrt {\gamma _{i}}}]

für ein

\gamma _{i}\in M_{i}

.

Umgekehrt ist natürlich auch jede Zahl aus $M_{m}$ konstruierbar. Ist also $a$ konstruierbar, so ist $a$ algebraisch und es ist $[\mathbb {Q} [a]:\mathbb {Q} ]=2^{m}$ eine Potenz von 2.

Zur Klärung der Konstruktion von regelmäßigen $n$ -Ecken mit $n\geq 3$ betrachtet man Kreisteilungskörper $\mathbb {Q} [\zeta _{n}]$ als Körpererweiterung über $\mathbb {Q}$ , wobei $\zeta _{n}:=\exp {\frac {2\pi \mathrm {i} }{n}}$ die $n$ -te Einheitswurzel bezeichnet. Die $n$ -ten Einheitswurzeln sind die auf dem Einheitskreis liegenden Ecken eines regelmäßigen $n$ -Ecks. Es genügt die reelle Zahl $\alpha _{n}:=\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1}\in \mathbb {R}$ zu konstruieren.

Sind zum Beispiel $m$ und $n$ teilerfremd, so ist $\mathbb {Q} [\zeta _{mn}]=\mathbb {Q} [\zeta _{m},\zeta _{n}]$ . Sind dann das $m$ - und das $n$ -Eck konstruierbar, so ist auch das $mn$ -Eck konstruierbar.

Um nun obige Argumente anwenden zu können, müssen einige Körpererweiterungsgrade bestimmt werden. Da die Kreisteilungspolynome irreduzibel sind, ist $[\mathbb {Q} [\zeta _{n}]:\mathbb {Q} ]=\varphi (n)$ . Wegen $\zeta _{n}\not \in \mathbb {R}$ ist $[\mathbb {Q} [\zeta _{n}]:\mathbb {Q} [\alpha _{n}]]>1$ , also ist $\operatorname {MinPol} _{\mathbb {Q} [\alpha _{n}]}(\zeta _{n})=X^{2}-\alpha _{n}X+1$ , und damit $[\mathbb {Q} [\zeta _{n}]:\mathbb {Q} [\alpha _{n}]]=2$ .

Im regelmäßigen $n$ -Eck beträgt der Zentriwinkel $\beta :={\frac {2\pi }{n}}$ . Ist somit das regelmäßige $n$ -Eck konstruierbar, so auch eine Strecke der Länge $|{\cos \beta }|=\cos {\frac {2\pi }{n}}$ . Wegen $\alpha _{n}=2\cos {\frac {2\pi }{n}}$ ist dann auch diese Zahl konstruierbar, also muss $[\mathbb {Q} [\alpha _{n}]:\mathbb {Q} ]=2^{m}$ eine Potenz von 2 sein. Damit ist dann $\varphi (n)=[\mathbb {Q} [\zeta _{n}]:\mathbb {Q} ]=[\mathbb {Q} [\zeta _{n}]:\mathbb {Q} [\alpha _{n}]]\cdot [\mathbb {Q} [\alpha _{n}]:\mathbb {Q} ]=2^{m+1}$ .

Ist umgekehrt $\varphi (n)=2^{m}$ , so ist $\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} [\zeta _{n}]:\mathbb {Q} )\cong \left(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \right)^{\times }$ eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung $2^{m}$ . Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen existiert dann eine Kette $\left(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \right)^{\times }=H_{0}\triangleright H_{1}\triangleright \dots \triangleright H_{m}=\{1\}$ von sukzessiven Normalteilern $H_{i}$ mit $|H_{i}|=2^{m-i}$ . Mit dem Hauptsatz der Galoistheorie erhält man daraus dann als Fixkörper von $\mathbb {Q} [\zeta _{n}]$ einen Körperturm $\mathbb {Q} =M_{0}\subseteq M_{1}\subseteq \dots \subseteq M_{m}=\mathbb {Q} [\zeta _{n}]$ mit $[M_{i+1}:M_{i}]=|H_{i}/H_{i+1}|=2$ , mithin ist $M_{i+1}=M_{i}[{\sqrt {\gamma _{i}}}]$ für $\gamma _{i}\in M_{i}$ , und somit ist $\zeta _{n}$ und damit auch das regelmäßige $n$ -Eck konstruierbar.

Sei beispielsweise $n=5$ . Dann ist $\varphi (n)=2^{2}$ eine Potenz von 2 und $\operatorname {Gal} (\mathbb {Q} [\zeta _{5}]:\mathbb {Q} )\cong \left(\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} \right)^{\times }=\langle 2\rangle$ , da 2 eine Primitivwurzel modulo 5 ist. Eine mögliche Kette von Normalteilern ist $H_{0}:=\langle 2\rangle \triangleright H_{1}:=\langle 4\rangle \triangleright H_{2}:=\langle 1\rangle$ . Der dazugehörige Körperturm ist $M_{0}:=\mathbb {Q} \subseteq M_{1}:=\mathbb {Q} [\zeta _{5}+\zeta _{5}^{-1}]\subseteq M_{2}:=\mathbb {Q} [\zeta _{5}]$ . Es ist $\operatorname {MinPol} _{\mathbb {Q} }(\alpha _{5})=X^{2}+X-1$ , da es normiert ist und $\alpha _{5}$ annulliert und mit Reduktion modulo 2 irreduzibel ist. Nach Lösen der Gleichung $x^{2}+x-1=0$ ergibt sich $\alpha _{5}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}$ . Nun könnte man bereits die erste Ecke konstruieren, indem man den Punkt mit Abstand $\alpha _{5}$ vom Mittelpunkt auf einer Achse aus konstruiert und dann das Lot durch diesen Punkt fällt. Durch Lösen von $x^{2}-\alpha _{5}x+1=0$ ergibt sich $\zeta _{5}=-{\frac {1}{4}}\left(-1+{\sqrt {5}}+\mathrm {i} {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)$ . Durch diesen algebraischen Ausdruck lässt sich alternativ die erste Ecke konstruieren, indem man eine reelle und eine imaginäre Achse einzeichnet und mit deren Hilfe den Punkt $\zeta _{5}$ konstruiert.