Kontaminierte Normalverteilung

Die kontaminierte Normalverteilung ist eine besondere Form der Mischverteilung. Sie spielt eine große Rolle bei Robustheitsuntersuchungen der Schätzer und Tests.

Definition

Die reelle Zufallsvariable $X\,$ hat eine kontaminierte Normalverteilung, wenn sich ihre Dichtefunktion in der Form

$f(x)=(1-\varepsilon ){\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{1}}}\operatorname {e} ^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu _{1}}{\sigma _{1}}}\right)^{2}}+\varepsilon {\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{2}}}\operatorname {e} ^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu _{2}}{\sigma _{2}}}\right)^{2}}$

mit $\varepsilon \in [0,1]$, also als Konvexkombination von zwei Normalverteilungs-Dichtefunktionen darstellen lässt.

Die Verteilungsfunktion hat dann die Gestalt

$F=(1-\varepsilon )\operatorname {N} (\mu _{1},\sigma _{1}^{2})+\varepsilon \operatorname {N} (\mu _{2},\sigma _{2}^{2})$.

Dabei gilt $\mu _{1},\mu _{2}\in \mathbb {R} ,\sigma _{1},\sigma _{2}>0,\operatorname {N} (\mu ,\sigma ^{2})$ ist die Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsvariable.

Erwartungswert und Varianz

Für den Erwartungswert und die Varianz gilt:

$\operatorname {E} (X)=(1-\varepsilon )\mu _{1}+\varepsilon \mu _{2}$,

$\operatorname {Var} (X)=(1-\varepsilon )\sigma _{1}^{2}+\varepsilon \sigma _{2}^{2}+\varepsilon (1-\varepsilon )(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}$.

Oft werden durch zusätzliche Bedingungen wie $\mu _{1}=\mu _{2}\,$ Spezialfälle abgeleitet (skalenkontaminierte Normalverteilung).

Beispiel

Ein Hersteller von elektronischen Geräten benutzt Kondensatoren mit der Kapazität 5 nF, die er von zwei Herstellern bezieht. Die von A hergestellten zeigen eine etwas geringere Streuung als die vom B. Vom Hersteller A stammen 60 % der bezogenen Kondensatoren, von B 40 %. Man nehme an, im genügend weiten Bereich ist die Kapazität der Kondensatoren von beiden Herstellern normalverteilt mit Parametern $\mu _{1},\mu _{2},\sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2}$. Sei $\mu _{1}=\mu _{2}=5\,\operatorname {nF} \,$ und $\sigma _{1}^{2}=0{,}0144\,\operatorname {nF} ^{2},\sigma _{2}^{2}=0{,}0225\,\operatorname {nF} ^{2}$.

Nun ist eine Abweichung von mehr als 10 % von dem Sollwert der Kapazität höchst unerwünscht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kondensator eine um mehr als 10 % abweichende Kapazität aufweist?

$10\,\%\,\cdot \,5=0{,}5\,,$

${\begin{aligned}P(X<4{,}5\cup X>5{,}5)&=\left(0{,}6\,\cdot \,\Phi \left({\frac {(5-0{,}5)-5}{\sqrt {0{,}0144}}}\right)\,+\,0{,}4\,\cdot \,\Phi \left({\frac {(5-0{,}5)-5}{\sqrt {0{,}0225}}}\right)\right)\\&\qquad +\left(1-0{,}6\,\cdot \,\Phi \left({\frac {(5+0{,}5)-5}{\sqrt {0{,}0144}}}\right)\,+\,1-0{,}4\,\cdot \,\Phi \left({\frac {(5+0{,}5)-5}{\sqrt {0{,}0225}}}\right)\right)\\&=\left(0{,}6\,\cdot \,\Phi \left({\frac {-0{,}5}{0{,}12}}\right)\,+\,0{,}4\,\cdot \,\Phi \left({\frac {-0{,}5}{0{,}15}}\right)\right)+\left(1-0{,}6\,\cdot \,\Phi \left({\frac {0{,}5}{0{,}12}}\right)\,+\,1-0{,}4\,\cdot \,\Phi \left({\frac {0{,}5}{0{,}15}}\right)\right)\\&=2\,\cdot \,\left(0{,}6\,\cdot \,\Phi \left({\frac {-0{,}5}{0{,}12}}\right)\,+\,0{,}4\,\cdot \,\Phi \left({\frac {-0{,}5}{0{,}15}}\right)\right)\\&\approx 2\,\cdot \,\left(0{,}6\,\cdot \,0{,}000015464+0{,}4\,\cdot \,0{,}000429117\right)\\&=0{,}000361849\end{aligned}}$

Ein Anteil von zirka 0,000361849 aller Kondensatoren zeigt bezüglich der Kapazität eine höhere Abweichung als 10 %.