Loewner-Halbordnung

Die Löwner-Halbordnung oder auch Loewner-Halbordnung ist eine spezielle Halbordnung auf dem Vektorraum der symmetrischen reellen $n\times n$-Matrizen, die ihn zum geordneten Vektorraum macht. Sie findet insbesondere in der semidefiniten Programmierung Verwendung, aber auch in der Optimalen Versuchsplanung.

Definition

Gegeben sei der reelle Vektorraum der symmetrischen reellen $n\times n$-Matrizen

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle S^{n}:=\{A\in \mathbb {R} ^{n\times n}\,|\,A^{T}=A\}.}

Hierbei bezeichnet $A^{T}$ die transponierte Matrix der Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A } . Man definiert nun die Loewner-Halbordnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \geq_L } durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \geq_L 0 \iff A \text{ ist positiv semidefinit } }

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \geq_L B \iff A-B \geq_L 0 \iff A-B \text{ ist positiv semidefinit } }

sowie

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B \leq_L A \iff A \geq_L B } .

Alternativ zur Formulierung, dass $A$ eine positiv semidefinite Matrix sein soll, findet sich auch die Forderung, dass $x^{T}Ax\geq 0$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{n}$ oder aber dass alle Eigenwerte $\lambda _{i}$ der Matrix $A$ größergleich null sein sollen. Alle drei Formulierungen sind aber äquivalent.

Konstruktion über einen Ordnungskegel

Alternativ kann man auch den semidefiniten Kegel $S_{+}^{n}$ (die Menge alle positiv semidefiniten Matrizen in $S^{n}$) als Ordnungskegel interpretieren. Die von diesem Kegel induzierte Ordnung ist dann die Loewner-Halbordnung.

Konstruktion als verallgemeinerte Ungleichung

Da der semidefinite Kegel sogar ein echter Kegel ist, kann man die von ihm definierte verallgemeinerte Ungleichung betrachten. Sie entspricht wieder der Loewner-Halbordnung.

Beispiel

Wir betrachten die Matrizen

$A={\begin{pmatrix}12&2\\2&8\end{pmatrix}},\,B={\begin{pmatrix}5&1\\1&3\end{pmatrix}},\,C={\begin{pmatrix}1&2\\2&-1\end{pmatrix}}$.

Alle drei sind symmetrisch und reell. Eine Berechnung der Eigenwerte oder die Anwendung der Gerschgorin-Kreise liefert, dass sowohl $A$ als auch $B$ positiv definit sind, es ist also

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A\geq _{L}0{\text{ und }}B\geq _{L}0} .

Berechnet man

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A-B={\begin{pmatrix}7&1\\1&5\end{pmatrix}}} ,

so ist auch diese Matrix positiv definit, da ihre Eigenwerte (nach den Gerschgorin-Kreisen) im Intervall Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle [4,8]} liegen und damit immer positiv sein müssen. Somit ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A\geq _{L}B{\text{ bzw. }}B\leq _{L}A} .

Bei der Matrix $C$ liefern die Gerschgorin-Kreise keine definitive Aussage, eine Berechnung ergibt die Eigenwerte $\lambda _{1,2}=\pm {\sqrt {5}}$. Somit ist $C$ indefinit, es gilt weder $C\geq _{L}0$ noch Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle C\leq _{L}0} . Dies liegt daran, dass es sich nur um eine Halbordnung handelt: Zwei Elemente (hier $C$ und die Nullmatrix) müssen nicht notwendigerweise miteinander vergleichbar sein.

Eigenschaften

Da die Loewner-Halbordnung den Vektorraum der reellen symmetrischen Matrizen zu einem geordneten Vektorraum macht, gilt

• Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A\leq _{L}A} für alle $A\in S^{n}$, das heißt, $\leq _{L}$ ist reflexiv.
• Aus $A\leq _{L}B$ und $B\leq _{L}C$ folgt $A\leq _{L}C$ für alle $A,B,C\in S^{n}$, das heißt, $\leq _{L}$ ist transitiv.
• Aus $A\leq _{L}B$ folgt $A+C\leq _{L}B+C$ für alle $A,B,C\in S^{n}$, das heißt, $\leq _{L}$ ist mit der Addition verträglich.
• Aus $A\leq _{L}B$ folgt $\lambda A\leq _{L}\lambda B$ für alle $A,B\in S^{n}$ und $\lambda \in [0,\infty )$, das heißt, $\leq _{L}$ ist verträglich mit der Multiplikation mit positiven Skalaren.

Da der semidefinite Kegel ein spitzer Kegel ist, ist $\leq _{L}$ außerdem antisymmetrisch, das heißt, wenn $A\leq _{L}B$ und $B\leq _{L}A$, so muss $A=B$ sein. Die Loewner-Halbordnung ist also eine strikte Ordnung.

Verwendung

Mittels der Loewner-Halbordnung werden die sogenannten Matrix-monotonen Funktionen definiert. Sie sind genau die monotonen Abbildungen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (S^n, \leq_L) } nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\R, \leq) } .

Strikte Varianten

Es lassen sich auch durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A > 0 \iff A \text{ ist positiv definit } }

strikte Varianten der Loewner-Halbordnung definieren. Diese tragen aber gewöhnlich keinen Eigennamen.

Notation

Es existiert eine Vielzahl von Notationen für die Loewner-Halbordnung. Gängig sind neben der obigen Notation mittels Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \geq_L } unter anderem auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \succcurlyeq_{S^n_+}} . Diese wird häufig in der semidefiniten Programmierung genutzt, oder wenn man die Konstruktion als verallgemeinerte Ungleichung verwendet, da sie immer noch mit angibt, welcher Kegel die verallgemeinerte Ungleichung definiert. Selten wird auch auf die Definition eines Ordnungszeichens verzichtet, man schreibt dann zum Beispiel $A\in -S_{+}^{n}$ anstelle von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \leq_L0 } .

Literatur

• Johannes Jahn: Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization. 3. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49378-5.
• Florian Jarre, Josef Stoer: Optimierung. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-43575-1.