Kegel (Lineare Algebra)

Ein Kegel im Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^2}

In der linearen Algebra ist ein (linearer) Kegel eine Teilmenge eines Vektorraums, die abgeschlossen bzgl. Multiplikation mit positiven Skalaren ist. Fordert man zusätzlich, dass der Kegel abgeschlossen bezüglich der Addition ist, so nennt man den Kegel einen konvexen Kegel.

Definition

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} ein geordneter Körper, beispielsweise die reellen oder auch die rationalen Zahlen. Eine Teilmenge $C$ eines Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} -Vektorraums Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} heiße (linearer) Kegel, wenn für jedes Element Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \in C} und jeden nicht-negativen Skalar Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda \in K;\lambda \ge 0} auch $\lambda x\in C$ ist.

Eine gleichwertige Charakterisierung lautet: Eine Teilmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C} eines Vektorraums Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} ist genau dann ein (linearer) Kegel, wenn für jeden nicht-negativen Skalar Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda C \subseteq C} gilt. Manchmal wird dies auch als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,\infty)C\subseteq C} geschrieben.

Arten von Kegeln

Spitze und stumpfe Kegel

Ein Kegel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C} heißt spitz, wenn er keine Gerade enthält, das heißt Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle -C\cap C\subseteq \{0\}} , andernfalls stumpf.

Punktierter Kegel

Manche Autoren schränken obige Definition auf die Abgeschlossenheit unter der Multiplikation mit echt positiven Skalaren ein. In diesem Fall lassen sich punktierte Kegel (d. h. die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0_V} ist nicht enthalten) und Kegel mit 0 unterscheiden.

Konvexer Kegel

→ Hauptartikel: Konvexer Kegel

Ein konvexer Kegel ist ein Kegel, der konvex ist. Das Konvexitätskriterium für Mengen reduziert sich für Kegel zur Abgeschlossenheit bezüglich der Addition. Der Kegel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} ist also genau dann ein konvexer Kegel, wenn für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x,y \in K} gilt, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x+y \in K} . Konvexe Kegel spielen eine wichtige Rolle in der linearen Optimierung.

Echter Kegel

Ein Kegel wird ein echter Kegel genannt, wenn er konvex, spitz und abgeschlossen ist sowie ein nichtleeres Inneres hat. Echte Kegel im Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} entsprechen dem intuitiven Kegelbegriff am ehesten.

Affiner Kegel

Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C-v} für ein Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle C\subseteq V} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v \in V} ein Kegel ist, so nennt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C} (affinen) Kegel mit Spitze Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} . Anschaulich wird also ein (linearer) Kegel entlang des Ortsvektors ${\vec {v}}$ verschoben.

Beispiele

• Die Halbgerade

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \, , \, \lambda \geq 0}

ist ein Kegel im Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^2} . Allgemeiner ist jeder Strahl, der von Null ausgeht, ein Kegel.

• Der positive Quadrant

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q= \{\,x \in \mathbb{R}^2 \,|\, x_1,x_2 \geq 0\,\}}

ist ein konvexer Kegel, da Summen von Vektoren mit positiven Einträgen wieder positive Einträge haben und er daher abgeschlossen bezüglich Addition ist. Außerdem ist er spitz (er enthält keine Gerade), hat ein nichtleeres Inneres (zum Beispiel liegt der Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (1,1)^\top} in seinem Inneren) und ist abgeschlossen. Somit ist er ein echter Kegel. Er ist sogar ein polyedrischer Kegel, da ein Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} liegt, genau dann, wenn

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} x \leq 0} ist.

• Die offene rechte Halbebene

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O=\{\,x \in \mathbb{R}^2 \,|\, x_1> 0 \,\}}

ist ein punktierter Kegel, da sie den Nullpunkt nicht enthält, aber abgeschlossen bezüglich der Multiplikation mit echt positiven Skalaren ist.

• Die abgeschlossene rechte Halbebene

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=\{\,x \in \mathbb{R}^2 \,|\, x_1\geq 0 \,\}}

ist ein konvexer Kegel mit null, aber nicht spitz, da er als Gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda (0,1)^\top} enthält mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda \in \mathbb{R}} .

Abgesehen von den hier aufgeführten „anschaulichen“ Kegeln gibt es Beispiele für Kegel auch in beliebigen Vektorräumen. Beispiele wären:

• Über dem Vektorraum der stetigen Funktionen bilden die konvexen Funktionen einen konvexen Kegel. Er ist nicht spitz, da es Funktionen gibt, für die sowohl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} als auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -f} konvex sind, dies sind die linearen Funktionen. Auch die konkaven Funktionen bilden einen Kegel.
• Die Posynomialfunktionen bilden einen konvexen Kegel im Vektorraum aller Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n_{++} \to \mathbb{R}} , die Monomialfunktionen immerhin noch einen (punktierten) Unterkegel, der aber nicht konvex ist.

Eigenschaften

• Der Schnitt einer Familie von Kegeln ist ein Kegel. Somit bilden die Kegel ein Hüllensystem, der zugehörige Hüllenoperator ist die Kegelhülle.
• Die Vereinigung einer Familie von Kegeln ist wieder ein Kegel.
• Das Komplement eines Kegels ist wieder ein Kegel.
• Für zwei Kegel $B,C$ sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -B} und die Summe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B + C} jeweils Kegel.
• Für zwei Kegel $B\subseteq V,C\subseteq W$ ist das direkte Produkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B\times C\subseteq V\times W} wieder ein Kegel im jeweiligen Produktraum.
• Ist der Kegel konvex, abgeschlossen und hat ein nichtleeres Inneres, so definiert er eine Halbordnung. Diese führt dann zu verallgemeinerten Ungleichungen und zur Definition von K-konvexen Funktionen, die konvexe Funktionen verallgemeinern.

Operatoren

Kegelhülle

→ Hauptartikel: Kegelhülle

Die Kegelhülle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{cone}(X)} ordnet einer beliebigen Teilmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X \subseteq V} den kleinsten Kegel, der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ganz enthält, zu. Sie ist definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{cone}(X) = \{\,\lambda x\,|\,\lambda \in \mathbb{R}_0^+ \text{ und } x \in X\,\}} .

Dualer Kegel und Polarer Kegel

→ Hauptartikel: Dualer Kegel

Der duale Kegel und der mit ihm eng verwandte polare Kegel lassen sich für jeden Kegel definieren und bilden die Menge aller Vektoren, die mit dem Kegel einen Winkel von weniger als neunzig Grad (im Falle des polaren Kegels mit mehr als neunzig Grad) einschließen. Sie werden meist über das Skalarprodukt definiert, können aber auch allgemeiner über die duale Paarung definiert werden.

Konische Hülle

→ Hauptartikel: Konische Hülle

Jeder Teilmenge eines Vektorraumes lässt sich ein kleinster konvexer Kegel zuordnen, der diese Menge enthält. Dieser Kegel wird die konische Hülle der Menge genannt.

Wichtige Kegel

Positiver Orthant

Der positive Orthant ist die Menge aller Vektoren im $\mathbb {R} ^{n}$, die nur positive Einträge haben.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O=\{\,x \in \mathbb{R}^n \,|\, x_i \geq 0 \text{ für } i=1, \dots, n\,\}} .

Er ist ein echter Kegel, der von den Einheitsvektoren endlich erzeugt wird, und ist selbstdual bezüglich des Standardskalarproduktes. Insbesondere ist die von ihm erzeugte verallgemeinerte Ungleichung das "komponentenweise Kleinergleich".

Norm-Kegel

Der Norm-Kegel im Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^{n+1}} ist definiert durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N= \{\,(x,t) \in \mathbb{R}^{n+1} \,|\, \left\|x\right\| \leq t \}} .

Sein dualer Kegel ist wieder ein Norm-Kegel, aber bezüglich der dualen Norm.

Lorentz-Kegel

ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\|\cdot\right\|= \left\|\cdot\right\|_2} die Euklidische Norm, so heißt er der Norm-Kegel auch Lorentz-Kegel oder quadratischer Kegel, manchmal auch wie im englischen second order cone bzw. ice-cream cone:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L= \{\,(x,t) \in \mathbb{R}^{n+1} \,|\, \left\|x\right\|_2 \leq t \,\}} .

Er ist ein echter, selbstdualer Kegel, der bei der Formulierung von SOCPs verwendet wird.

Euklidischer Kegel

Für einen Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi \in [0,\pi/2]} ist der euklidische Kegel die Menge aller Vektoren in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} , die mit einem vorgegebenen Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} einen Winkel kleiner als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi} einschließen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C = \{\,x \in \mathbb{R}^n \,|\, \sphericalangle(x,c) \leq \phi \,\}} .

Er entsteht durch (nichtsinguläre) lineare Transformation des Lorentz-Kegels.

Positiv semidefiniter Kegel

Auf dem Vektorraum

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S^n:= \{\, A \in \mathbb{R}^{n \times n} \,|\, A^\top=A \,\}}

der symmetrischen reellen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \times n} -Matrizen bilden die positiv semidefiniten Matrizen einen Kegel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S^n_+:= \{\, A \in S^n \,|\, \forall x \in \mathbb{R}^n. x^\top Ax \geq 0 \,\}} ,

den sogenannten positiv semidefiniten Kegel oder gelegentlich auch nur semidefiniten Kegel. Er ist konvex und selbstdual bezüglich des Frobenius-Skalarproduktes. Er spielt eine wichtige Rolle in der semidefiniten Optimierung, da er als Ordnungskegel eine Halbordnung auf dem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S^n} definiert, die Loewner-Halbordnung.

Sphärischer Schnitt

Ist der Vektorraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\|\cdot\right\| \colon V \to \R} normiert, so lässt sich die Zentralprojektion eines Kegels Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C \subseteq V} auf den Einheitskreis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S = \{x \in V | \left\|x\right\| = 1 \}} betrachten. Diese ist durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi_C\ \colon\ C \setminus \{0_V \} \to S\ ;\ x \mapsto \frac{x}{\left\|x\right\||}}

erklärt. Ihr Bild Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{img}(\pi_C) = C \cap S} ist offenbar gleich dem Schnitt des Kegels mit dem Einheitskreis.

Ein Kegel wird durch seinen Kreisschnitt vollständig beschrieben, denn es gilt:

$\operatorname {cone} (\operatorname {img} (\pi _{C}))=C$

Siehe auch

• Kegel (Geometrie)
• Geordneter Vektorraum
• Tangentialkegel und Normalkegel
• Linearisierter Tangentialkegel