Legendresche Chi-Funktion

Die legendresche Chi-Funktion (nach Adrien-Marie Legendre) ist eine spezielle Funktion in der Mathematik.

Definition

Die legendresche Chi-Funktion ist folgendermaßen definiert:

$\chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}}.$

Sie lässt sich auch mit dem Polylogarithmus $\mathrm {Li} _{\nu }(z)$ ausdrücken:

$\chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right]$

$\chi _{\nu }(z)=\operatorname {Li} _{\nu }(z)-{\frac {1}{2^{\nu }}}\operatorname {Li} _{\nu }(z^{2})$

Funktion für v = 2:

$\chi _{2}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)^{2}}}$

Folgende Darstellungen als Integrale hat diese Funktion:

$\chi _{2}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {artanh} (xy)}{y}}\,\mathrm {d} y$

$\chi _{2}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsin} (xy)}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} y$

Folgende Ableitung hat diese Funktion:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\chi _{2}(x)={\frac {\operatorname {artanh} (x)}{x}}$

Spezielle Werte

Folgende Formel dient für die Werte 0 < x < 1 zur Ermittlung der Chi-Funktionswerte:

$\chi _{2}(x)+\chi _{2}({\frac {1-x}{1+x}})={\frac {\pi ^{2}}{8}}-2\operatorname {artanh} (x)\operatorname {artanh} ({\frac {1-x}{1+x}})$

Mit Hilfe dieser Formel und mit Hilfe des Dilogarithmus können folgende Funktionswerte ermittelt werden:

${\begin{matrix}\chi _{2}(\mathrm {i} )&=&\mathrm {i} \cdot G\\\chi _{2}({\sqrt {2}}-1)&=&{\frac {1}{16}}\pi ^{2}-{\frac {1}{4}}\left(\ln({\sqrt {2}}+1)\right)^{2}\\\chi _{2}({\frac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1))&=&{\frac {1}{12}}\pi ^{2}-{\frac {3}{4}}\left(\ln({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}})\right)^{2}\\\chi _{2}({\sqrt {5}}-2)&=&{\frac {1}{24}}\pi ^{2}-{\frac {3}{4}}\left(\ln({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}})\right)^{2}\\\chi _{2}(-1)&=&-{\frac {1}{8}}\pi ^{2}\\\chi _{2}(1)&=&{\frac {1}{8}}\pi ^{2}\end{matrix}}$

mit der imaginären Einheit ${\rm {i}}$ und der catalanschen Konstanten $G$.

Spezialfälle und Verallgemeinerungen

Zu den Spezialfällen gehören die dirichletsche Lambda-Funktion $\lambda$

$\lambda (n)=\chi _{n}(1)\,$

und die dirichletsche Beta-Funktion $\beta$:

$\beta (n)={\frac {1}{\rm {i}}}\chi _{n}(\mathrm {i} ).$

Die transzendente lerchsche Zeta-Funktion verallgemeinert die legendresche Chi-Funktion:

$\chi _{n}(z)=2^{-n}z\,\Phi (z^{2},n,{\tfrac {1}{2}}).$

Siehe auch

• Hurwitzsche Zeta-Funktion

Referenzen

• Eric W. Weisstein: Legendre's Chi Function. In: MathWorld (englisch).
• Djurdje Cvijović und Jacek Klinowski, "Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments", Math. of Comp. 68 (1999), 1623–1630.