Legendresche Vermutung

Die Legendresche Vermutung (benannt nach dem Mathematiker Adrien-Marie Legendre) ist eine zahlentheoretische Aussage, die besagt, dass es für jede natürliche Zahl $n$ mindestens eine Primzahl zwischen $n^{2}$ und $(n+1)^{2}$ gibt.

Die Vermutung ist eines der Landau-Probleme – benannt nach Edmund Landau, der sie auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Cambridge 1912 zu den vier zur damaligen Zeit nicht attackierbaren Vermutungen über Primzahlen zählte.

Die Vermutung ist unbewiesen. Es konnte allerdings gezeigt werden, dass zwischen $n^{2}$ und $(n+1)^{2}$ immer eine Primzahl oder eine Semiprimzahl liegt.

Eine analoge Vermutung für Kubikzahlen bewies Albert Ingham: Für jedes hinreichend große $n$ liegt zwischen $n^{3}$ und $(n+1)^{3}$ mindestens eine Primzahl.

Beispiele

Für $n=1,2,3,4,5$ bestätigen die Primzahlen $p=2,5,11,17,29$ die Vermutung.

Verwandtes

Nach der Brocardschen Vermutung (benannt nach Henri Brocard) gibt es für jedes $n>1$ mindestens vier Primzahlen zwischen $p_{n}^{2}$ und $p_{n+1}^{2}.$ Dabei ist $p_{n}$ die n-te Primzahl (also $p_{1}=2,$ $p_{2}=3,$ …). Beispielsweise liegen zwischen $p_{2}^{2}=9$ und $p_{3}^{2}=25$ die fünf Primzahlen $11,13,17,19,23$. Auch diese Vermutung ist unbewiesen.

Der dänische Mathematiker Ludvig Oppermann (1817–1883) vermutete 1882 (Vermutung von Oppermann), dass es für $n>1$ zwischen $(n-1)\cdot n=n^{2}-n$ und $n^{2}$ mindestens eine Primzahl gibt (und ebenso zwischen $(n+1)\cdot n=n^{2}+n$ und $n^{2}$). Eine andere Formulierung mit der Primzahlfunktion $\pi (x)$ lautet $\pi (x^{2}-x)<\pi (x^{2})<\pi (x^{2}+x)$. Aus der Vermutung folgt, dass es mindestens vier Primzahlen zwischen $(n+1)^{2}$ und $(n-1)^{2}$ gibt und mindestens zwei zwischen $n^{2}$ und ${(n+1)}^{2}$ (eine zwischen $n^{2}$ und $n\cdot (n+1)$ und eine zwischen $n\cdot (n+1)$ und ${(n+1)}^{2}$), sie ist also eine Verschärfung der Legendre-Vermutung. Ebenso folgt, dass der Abstand zweier aufeinanderfolgender Primzahlen $p_{n+1}-p_{n}<{\sqrt {p}}_{n}$ ist. Dies ist ebenfalls unbewiesen.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Legendre’s Conjecture. In: MathWorld (englisch).