Leiterschleife

Eine Leiterschleife beschreibt in der Elektrotechnik eine von einem Leiter aufgespannte Fläche. Man unterscheidet zwischen einer geschlossenen und einer geöffneten Leiterschleife. Sie bildet die kleinste Einheit einer Spule und wird besonders in der Physik und Elektrotechnik zur Veranschaulichung des Induktionsgesetzes eingesetzt.

Das Magnetfeld

Magnetfeld einer runden Leiterschleife.

Flussdichte ${\boldsymbol {B}}$ in Abhängigkeit vom Abstand $z$ entlang der Achse der Leiterschleife

Ein Magnetfeld entsteht um jeden stromdurchflossenen Leiter. Wie beim geraden Draht wird jedes Teilstück in unmittelbarer Nähe von konzentrischen Feldlinien umgeben. Nimmt man als Modellvorstellung eine stromdurchflossene geschlossene Leiterschleife, so kann die Richtung der Feldlinien mit der Rechte-Faust-Regel bestimmt werden.

Abhängigkeiten zur Berechnung der Flussdichte ${\boldsymbol {B}}$ in einem Punkt ${\boldsymbol {P}}$ neben einer Stromschleife

Eine runde Leiterschleife im Ursprung um die $z$-Achse mit dem Radius $R$, die von einem Strom der Stärke $I$ durchflossen wird, erzeugt gemäß dem Biot-Savart-Gesetz (mit Zylinderkoordinaten $\rho ,\varphi ,z$) die magnetische Flussdichte

${\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}})={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{0}^{2\pi }R\,{\boldsymbol {{\hat {\varphi }}'}}(\varphi ')\times {\frac {{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {\rho }}'(\varphi ')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {\rho }}'(\varphi ')|^{3}}}\,\mathrm {d} \varphi '$.

Hierbei wird über den Winkel $\varphi '$ einmal um die Leiterschleife integriert, wobei ${\boldsymbol {\rho }}'(\varphi ')={\boldsymbol {\hat {x}}}R\cos \varphi '+{\boldsymbol {\hat {y}}}R\sin \varphi '$ und ${\boldsymbol {{\hat {\varphi }}'}}(\varphi ')={\boldsymbol {\hat {y}}}\cos \varphi '-{\boldsymbol {\hat {x}}}\sin \varphi '$. Nach Komponenten aufgelöst ergibt das

${\boldsymbol {B}}(\rho ,z)=B_{\rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+B_{z}{\boldsymbol {\hat {z}}}$

$B_{\rho }={\frac {\mu _{0}I}{2\pi }}{\frac {1}{\sqrt {(R+\rho )^{2}+z^{2}}}}{\frac {z}{\rho }}\left({\frac {R^{2}+\rho ^{2}+z^{2}}{(R-\rho )^{2}+z^{2}}}E(k^{2})-K(k^{2})\right)$

$B_{z}={\frac {\mu _{0}I}{2\pi }}{\frac {1}{\sqrt {(R+\rho )^{2}+z^{2}}}}\left({\frac {R^{2}-\rho ^{2}-z^{2}}{(R-\rho )^{2}+z^{2}}}E(k^{2})+K(k^{2})\right)$

mit $k^{2}={\frac {4R\rho }{(R+\rho )^{2}+z^{2}}}$

wobei $K(k^{2})$ und $E(k^{2})$ die vollständigen elliptischen Integrale erster und zweiter Art sind. ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ und ${\boldsymbol {\hat {z}}}$ sind Einheitsvektoren der Zylinderkoordinaten. Aus Symmetriegründen gibt es weder Abhängigkeiten noch Komponenten in $\varphi$-Richtung. Obige Formel für $B_{\rho }$ ist in der Umgebung von $\rho =0$ numerisch instabil, was durch eine Taylor-Entwicklung oder die Verwendung der Carlson-Formen behoben werden kann.

Auf der Symmetrieachse der Leiterschleife ($\rho =0$) im Abstand $z$ vom Mittelpunkt beträgt die Flussdichte

${\boldsymbol {B}}(z)={\frac {\mu _{0}I}{2}}\,{\frac {R^{2}}{\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}}\,{\boldsymbol {\hat {z}}}$.

Ordnet man mehrere Leiterschleifen aneinander (Spule), so wird das resultierende Magnetfeld als Überlagerung der Einzelfelder berechnet. Eine Aneinanderreihung von kreisförmigen Leiterschleifen ergibt eine Zylinderspule.

Lorentzkraft zwischen zwei Leiterschleifen

Leiterschleifen üben durch ihr Magnetfeld Lorentzkräfte aufeinander aus. Die axiale Kraft $F$ zwischen zwei koaxial angeordneten kreisförmigen Leiterschleifen mit Radien $R_{1}$, $R_{2}$ und Strömen $I_{1}$, $I_{2}$ mit axialem Abstand $z$ beträgt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(z) = \mu_0\,I_1 I_2\frac{-z}{\sqrt{(R_1+R_2)^2+z^2}}\left(\frac{R_1^2+R_2^2+z^2}{(R_1-R_2)^2+z^2}E(k^2) - K(k^2)\right)} ,       Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k^2=\frac{4R_1 R_2}{(R_1+R_2)^2+z^2}}

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(k^2)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(k^2)} wie oben. Hieraus folgt beispielsweise, dass die anziehende axiale Kraft in einer Helmholtz-Spule Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_\text{H} = 0{,}572\,\mu_0I^2} beträgt.

Für große Abstände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z \gg R_1,R_2} entspricht die Kraft annähernd einer Kraft zwischen zwei Dipolen mit Dipolmomenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_i=I_i\cdot R_i^2\pi} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(z) \simeq -\frac{3\pi}{2}\mu_0\frac{R_1^2I_1\,R_2^2I_2}{z^4}}

Für identische Radien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_1 = R_2 = R} und kleine Abstände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z \ll R} entspricht die Kraft der von zwei parallel verlaufenden Leitern:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(z) \simeq -\mu_0\,I_1 I_2\frac{R}{z}}

Induzierte Spannung

In einer geöffneten Leiterschleife wird eine Spannung induziert, die proportional zu dem in ihr fließenden magnetische Fluss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi} ist. Allgemein gilt nach dem Induktionsgesetz:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U = - \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t},}

mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi = \int\limits_{A}\vec B \cdot \text{d}\vec A}

Anwendungsbeispiele

Generator

Ein Generator besteht prinzipiell aus einer stromdurchflossenen Leiterschleife, die in einem ruhenden, homogenen Magnetfeld durch mechanische Energie gedreht wird. In der oben genannten Formel des Induktionsgesetzes wird das Magnetfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec B} als konstant und nur die Fläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec A} als zeitlich änderbar angenommen. Somit erhält man für den magnetischen Fluss

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = \vec B \cdot \frac{\mathrm{d}\vec A}{\mathrm{d}t}}

Transformator

Das Grundprinzip des Transformators lässt sich verdeutlichen an zwei gegenüberliegenden Spulen, die jeweils aus mehreren Leiterschleifen aufgebaut und nur mit einem Eisenkern, der nicht elektrisch leitet, verbunden sind. Der Wirkmechanismus des Transformators ist die Spannungstransformation, bei der die aufgespannte Fläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec A} der Leiterschleife als konstant und das Magnetfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec B} als zeitlich änderbar angenommen wird. Durch das Induktionsgesetz erhält man für den magnetischen Fluss

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = \vec A \cdot \frac{\mathrm{d}\vec B}{\mathrm{d}t}}

Das sich ändernde Magnetfeld wird bei dem Transformator durch Anlegen einer Wechselspannung erzeugt und über den Eisenkern induziert der magnetische Fluss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi} eine Spannung in der gegenüberliegenden Spule.

Literatur

• Heinrich Frohne, Karl-Heinz Löcherer, Hans Müller: Moeller Grundlagen der Elektrotechnik. Vieweg + Teubner, Stuttgart 2008, ISBN 978-3-8351-0109-8.
• Karl Küpfmüller, Gerhard Kohn: Theoretische Elektrotechnik und Elektronik. Springer, Berlin 1993 (14. Aufl.), ISBN 3-540-56500-0.