Lie-Produktformel

Die Lie-Produktformel oder liesche Produktformel, benannt nach Sophus Lie, ist eine Formel zur Berechnung des Wertes der Exponentialfunktion von einer Summe zweier quadratischer Matrizen. Wegen späterer Verallgemeinerungen durch Hale Trotter spricht man auch von der Trotter-Produktformel oder Lie-Trotter-Produktformel.

Die Produktformel

Seien $A$ und $B$ zwei quadratische Matrizen gleicher Größe über $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$, etwa $n\times n$-Matrizen. Dann kann man ihre Summe $A+B$ bilden. Ferner kann man die Exponentialfunktion von quadratischen Matrizen durch Einsetzen in die Exponentialreihe definieren, das heißt

$e^{A}:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}$.

Dabei wird der Grenzwert der Reihe im Raum der $n\times n$-Matrizen gebildet, das heißt komponentenweise. Mit diesen Daten gilt die Lie-Produktformel:

$e^{A+B}=\lim _{N\to \infty }\left(e^{A/N}e^{B/N}\right)^{N}$.

Bemerkung

Die aus der Analysis bekannte Formel für die Exponentialfunktion einer Summe gilt nur eingeschränkt:

$e^{A+B}=e^{A}e^{B}$   falls   $AB=BA$,

denn falls die Matrizen $A$ und $B$ vertauschen, kann man den aus der Analysis bekannten Beweis der Formel

$e^{x+y}=e^{x}e^{y}$   für alle   $x,y\in \mathbb {K}$ ($\mathbb {K}$ steht für $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$)

einfach kopieren. Die Lie-Produktformel verallgemeinert diese Situation, denn wenn $A$ und $B$ vertauschen, so vertauschen auch $\textstyle e^{A/N}$ und $\textstyle e^{B/N}$ und man erhält

$\left(e^{A/N}e^{B/N}\right)^{N}=\left(e^{A/N}\right)^{N}\left(e^{B/N}\right)^{N}=e^{A}e^{B}$.

Anwendung

Ist $G$ eine abgeschlossene Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe $\mathrm {GL} (n,\mathbb {K} )$, so definiert man die zugeordnete Lie-Algebra durch

$L(G):=\{A\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {K} )\mid e^{tA}\in G{\text{ für alle }}t\in \mathbb {R} \}$.

Bei dieser Definition ist nicht einmal klar, dass die so definierte Menge $L(G)$ überhaupt ein Vektorraum ist. Offensichtlich ist nur, dass mit $a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ und $A\in L(G)$ auch $aA\in L(G)$ ist, denn es ist $e^{tA}\in G$ für alle $t\in \mathbb {R}$ genau dann, wenn $e^{taA}\in G$ für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t\in \R} . Um zu zeigen, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L(G)} auch bzgl. der Addition abgeschlossen ist, verwendet man obige Lie-Produktformel wie folgt.

Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A,B \in L(G)} . Dann ist definitionsgemäß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle e^{tA/N}, e^{tB/N} \in G} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t\in \R, N\in \N} . Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} eine Gruppe ist, folgt auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \left(e^{tA/N}e^{tB/N}\right)^N \in G} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t\in \R, N\in \N} . Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} abgeschlossen ist, enthält Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} auch den Grenzwert für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N\to \infty} , und das führt nach der Lie-Produktformel zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle e^{tA+tB}\in G} und damit auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle e^{t(A+B)}\in G} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t\in \R} . Aber das bedeutet definitionsgemäß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A+B\in L(G)} .

Verallgemeinerungen

Die Lie-Produktformel gilt allgemeiner in beliebigen Banachalgebren mit Einselement. Die Exponentialfunktion eines Elements der Banachalgebra kann wieder über die Exponentialreihe definiert werden. Sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} Elemente einer solchen Banachalgebra, so gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e^{A+B} = \lim_{N\to \infty} \left(e^{A/N}e^{B/N}\right)^N}

Insbesondere gilt die Formel für alle beschränkten Operatoren auf einem Hilbertraum. Auf unendlichdimensionalen Hilberträumen sind aber auch gewisse unbeschränkte Operatoren, die dicht-definierten, selbstadjungierten Operatoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} mit Definitionsbereich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D(A)} von besonderem Interesse. Für diese können mittels des Spektralsatzes die unitären Operatoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle e^{\mathrm{i}tA},\, t\in \R} gebildet werden. Dann gilt folgende auf Hale Trotter zurückgehende Verallgemeinerung, die man die Trotter-Produktformel oder Lie-Trotter-Produktformel nennt:

Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} zwei selbstadjungierte Operatoren mit Definitionsbereichen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D(A)} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D(B)} in einem komplexen Hilbertraum, so dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A+B} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D(A)\cap D(B)} wesentlich selbstadjungiert ist. Dann gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e^{\mathrm{i}t(A+B)} = s-\lim_{N\to \infty} \left(e^{\mathrm{i}tA/N}e^{\mathrm{i}tB/N}\right)^N} .

Dabei bedeutet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s-\lim} Konvergenz bzgl. der starken Operatortopologie, das heißt, wendet man beide Seiten der Formel auf einen festen Vektor des Hilbertraums an, so liegt Normkonvergenz vor.

Da die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle e^{\mathrm{i}tA}} unitär sind und daher als beschränkte Operatoren die Norm 1 haben, handelt es sich um den Prototyp einer kontraktiven, stark stetigen Halbgruppe auf einem Banachraum. Die Lie-Trotter-Produktformel lässt sich auf diese Situation wie folgt verallgemeinern, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle e^{tA}} den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} -ten Halbgruppenoperator zum Erzeuger Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} bezeichnet:

Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C} Erzeuger kontraktiver, stetiger Halbgruppen auf einem Banachraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} , und es sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Cx = Ax+Bx} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} aus einem wesentlichen Bereich von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C} . Dann gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e^{tC} = s-\lim_{N\to \infty} \left( e^{tA/N}e^{tB/N}\right)^N}   für alle    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t\in \R_{\ge 0}} ,

das heißt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e^{tC}x = \lim_{N\to \infty} \left( e^{tA/N}e^{tB/N}\right)^Nx}   für alle    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in X} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t\in \R_{\ge 0}}