Linearität (Physik)

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Von Linearität in Physik, Chemie und Technik wird gesprochen, wenn ein Zusammenhang zwischen zwei physikalischen Größen durch eine lineare Funktion dargestellt werden kann. Wird beispielsweise das Volumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} einer Flüssigkeitsmenge in Abhängigkeit von der Celsiustemperatur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} beschrieben durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V=V_0 (1+\alpha t+\beta t^2 +\gamma t^3 +\cdots)} , bringen dabei die Summanden mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta ,\ \gamma ,\,\cdots\ } keinen beachtenswerten Beitrag, wohl aber der Summand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha t} , so liegt eine Linearität der thermischen Ausdehnung vor.[1]

Grundlage

Lineare Funktion mit ihren Parametern

Eignen sich zur Beschreibung des Verhaltens eines Bauelementes (eines Gerätes, einer Einrichtung) oder eines physikalischen Zusammenhangs eine Eingangsgröße Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} und eine Ausgangsgröße , und genügen diese Größen der Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=m\cdot x+b\quad \text{mit }\ m,b = \text{reelle Konstanten,}}

so spricht man von einem linearen Bauelement oder einer linearen Funktion.[2][3] Gleichbedeutend mit diesem linearen Zusammenhang gilt als Kennzeichen der Linearität, wenn

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=m=\text{konst}}

ist — und zwar unabhängig von der Größe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta x} und von der Lage eines Arbeitspunktes, ab dem sowohl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta x} als auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta y} zählen.

Im Sonderfall ist der Zusammenhang durch Proportionalität geprägt. Dann gilt zusätzlich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac yx=m=\text{konst .}}

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit gleichmäßig geteilten Achsen wird der lineare Zusammenhang zwischen dem Ausgangssignal und dem Eingangssignal durch eine gerade Kennlinie dargestellt. Bei proportionalem Zusammenhang geht diese durch den Koordinatenursprung.

Bei einer stetig gekrümmten Kennlinie kann eine lineare Näherung im Rahmen eines Kleinsignalverhaltens verwendet werden, soweit bei kleinen Werten von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\Delta x|} die Abweichung der Kurve von ihrer Tangente (im jeweils gewählten Arbeitspunkt) noch gering ist.

In der Messtechnik

Skalen eines Analogmultimeters (nur die mittlere Skale ist linear geteilt)
  • Häufig liegt zwischen einer Messgröße (z. B. Konzentration eines Stoffes in der analytischen Chemie) und dem Messsignal (z. B. die elektrische Spannung eines Sensors) eine lineare Funktion zu Grunde. Angestrebt wird bei einem Messgerät möglichst Proportionalität. Dazu wird im Rahmen der Signalbearbeitung in einer Messkette nicht nur das Signal verstärkt, sondern bei Bedarf zusätzlich der Nullpunkt verschoben. Im Fall des nebenstehend gezeigten Messgerätes ist eine Möglichkeit vorhanden, den Zeiger von außen zu verdrehen und damit den Nullpunkt einzustellen.
  • In nebenstehendem Bild besteht im zur oberen Skale gehörenden Messbereich ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen der Messgröße und dem Ausschlag bzw. dem Winkel des Zeigers. Durch eine ebenfalls nichtlineare Skalenteilung wird der ablesbare Wert dennoch proportional zur Messgröße.

In der Elektrotechnik

Kennlinien von Spannungsquellen
  • Eine Spannungsquelle wird als lineare Spannungsquelle bezeichnet, wenn die Klemmenspannung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_\text{kl}} mit steigender Stromstärke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I} abnimmt gemäß der Gleichung
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_\text{kl}=U_0 -I\,R_\text{i}} .
Datei:Übertragung nichtlinear.svg
Lineare Übertragung mittels eines Feldeffekt­transistors nur im geradlinigen Teil der Kennlinie
  • Die grundlegenden passiven Bauelemente ohmscher Widerstand, Spule und Kondensator werden in einem Wechselstromkreis als lineare Widerstände bezeichnet, da sie auf eine harmonische Schwingung der Eingangsgröße mit einer ebenfalls harmonischen Schwingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta y} der Ausgangsgröße bei gleicher Frequenz reagieren. Dabei sind diese Größen die elektrische Spannung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} und elektrische Stromstärke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I} . – Halbleiterbauelemente verhalten sich in aller Regel nichtlinear.
  • In der Kennlinie eines Feldeffekttransistors ist der Zusammenhang zwischen der Steuerspannung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_\mathrm{GS}} und der gesteuerten Stromstärke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_\mathrm D} eines Feldeffekttransistors dargestellt. Es lassen sich zwei Bereiche unterscheiden, wobei die Grenze fließend ist.
    • Im Bereich 0 … −1 V kann die Kurve in guter Näherung als geradlinig angesehen werden; es liegt Linearität vor. Hier folgt einer Spannungsänderung , die ab einem Arbeitspunkt gezählt wird, eine proportionale Änderung der Stromstärke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta I_\mathrm D} . Bei einer sinusförmigen zeitlichen Änderung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta U_\mathrm{GS}} folgt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta I_\mathrm D} ebenfalls sinusförmig.
    • Im Bereich −1 … −3 V ist die Funktion nichtlinear. Hieraus resultieren Verzerrungen: Bei sinusförmigem zeitlichem Verlauf von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta U_\mathrm{GS}} folgt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta I_\mathrm D} mit einem nicht sinusförmigen Verlauf.

In der Mechanik

Entsprechend der lateinischen Bedeutung des Wortes linea erfolgt u. a. eine Unterscheidung der Bewegungsrichtung von Körpern danach, ob die Bewegung entlang einer entsprechend ausgeprägten geraden Linie erfolgt (linear) oder nicht (nicht linear). Beispiel: In einem Verbrennungsmotor führt der Hubkolben eine geradlinige Bewegung aus (eine ungleichmäßige Translation) und die mit ihm verbundene Kurbelwelle eine kreisförmige Bewegung (im stationären Zustand eine gleichmäßige Rotation).

In der Chemie

Linearität zwischen Spannung und pH-Wert bei zwei verschiedenen Elektroden

Soweit bei chemischen Analysen elektrische oder andere physikalische Größen gemessen werden, sind Zusammenhänge bekannt, die durch lineare Funktionen beschrieben werden; dazu drei Beispiele:

Weblinks

Wiktionary: Linearität – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

  1. ↑ Detlef Kamke, Wilhelm Walcher: Physik für Mediziner. 2. Auflage. Teubner, 1994, S. 191
  2. ↑ Thomas Wenisch: Kurzlehrbuch Physik, Chemie, Biologie. 2. Auflage. Urban&Fischer, 2009, S. 13
  3. ↑ Ma​y-Britt Kallenrode: Rechenmethoden der Physik. Springer, 2003, S. 31
  4. ↑ Richard Joseph Meyer: Gmelins Handbuch der anorganischen Chemie - Ausgabe 56., 1973, S. 230
  5. ↑ Günter Westphal, Hans Buhr, Horst Otto: Reaktionskinetik in Lebensmitteln. Springer, 1996, S. 104
  6. ↑ David Smith: Kurzlehrbuch Physikalische Chemie. Wiley – VCH, 2020, S. 284
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