Liste nicht-trivialer Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion
Die nachfolgende Tabelle listet die ersten 50 nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion auf.
Erklärung
Die Menge aller komplexen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion zerfällt in zwei Teilmengen: in die Teilmenge der sogenannten trivialen Nullstellen, welche die Riemannsche Zetafunktion an den negativen geraden Zahlen (−2, −4, −6, −8 usw.) annimmt, und in die Teilmenge der sogenannten nicht-trivialen Nullstellen, deren Realteil zwischen 0 und 1 liegt. Die bis heute weder bewiesene noch widerlegte Riemannsche Vermutung aus dem Jahr 1859 besagt, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktionen den Realteil 1/2 besitzen.
Zu den überwältigend vielen, nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion, von denen bekannt ist, dass sie tatsächlich den Realteil 1/2 besitzen, zählen die in der nachfolgenden Tabelle angegebenen Nullstellen. Deshalb werden in der zweiten Spalte der Tabelle nur die Imaginärteile der nicht-trivialen Nullstellen angegeben. Der zugehörende Realteil ist stets 1/2.
Die unendlich vielen, nicht-trivialen Nullstellen sind spiegelsymmetrisch zur reellen Achse angeordnet. Besitzt also in nachfolgender Tabelle eine nicht-triviale Nullstelle den Imaginärteil , so ist auch die zu komplex konjugierte Zahl eine nicht-triviale Nullstelle der Riemannschen Zetafunktion (dabei bezeichnet die imaginäre Einheit). Aus diesem Grund werden in der nachfolgenden Tabelle keine nicht-trivialen Nullstellen mit negativem Imaginärteil aufgelistet. Bei den Imaginärteilen in der zweiten Spalte werden 30 Nachkommastellen angegeben. Die letzte angegebene Nachkommastelle ist nicht gerundet.
Die Nummerierung der nicht-trivialen Nullstellen in der ersten Spalte folgt steigenden Werten der Imaginärteile der Nullstellen. Es ist also die nicht-triviale Nullstelle der Riemannschen Zetafunktion mit dem kleinsten, positiven Imaginärteil. Die nicht-triviale Nullstelle besitzt den zweitkleinsten, positiven Imaginärteil usw.
Die einfachste Methode zur numerischen Berechnung nicht-trivialer Nullstellen der Zetafunktion verwendet die Euler-Maclaurin-Formel.[1] Mit ihrer Hilfe konnte der dänische Mathematiker Gram bis 1903 die ersten 15 nicht-trivialen Nullstellen mit einer Genauigkeit von wenigen Dezimalstellen berechnen.[2]
Fortgeschrittene Methoden stützen sich auf die Riemann-Siegelsche Z-Funktion. Die Nullstellen dieser reellwertigen Funktion reellen Arguments stimmen mit den Imaginärteilen der Nullstellen der Zetafunktion mit Realteil 1/2 überein. Bei der Berechnung der Nullstellen der Z-Funktion kommen die Riemann-Siegelsche Formel und die asymptotische Entwicklung der Riemann-Siegelschen Theta-Funktion zum Einsatz. Zusammen mit der Kenntnis der Anzahl der nicht-trivialen Nullstellen im betrachteten Intervall des Imaginärteils lässt sich dann prüfen, ob die berechneten Nullstellen der Zeta-Funktion mit einem Realteil von 1/2 schon alle nicht-trivialen Nullstellen in diesem Intervall erfassen[3]. Auch das Verfahren von Odlyzko und Schönhage basiert auf der Z-Funktion. Im Vergleich zu älteren Verfahren, die die Z-Funktion einsetzen, steigert es seine Geschwindigkeit z. B. durch den Einsatz schneller Fourier-Transformationen.[4]
Tabelle
| n | Imaginärteil |
|---|---|
| 1 | 14,134725141734693790457251983562… |
| 2 | 21,022039638771554992628479593896… |
| 3 | 25,010857580145688763213790992562… |
| 4 | 30,424876125859513210311897530584… |
| 5 | 32,935061587739189690662368964074… |
| 6 | 37,586178158825671257217763480705… |
| 7 | 40,918719012147495187398126914633… |
| 8 | 43,327073280914999519496122165406… |
| 9 | 48,005150881167159727942472749427… |
| 10 | 49,773832477672302181916784678563… |
| 11 | 52,970321477714460644147296608880… |
| 12 | 56,446247697063394804367759476706… |
| 13 | 59,347044002602353079653648674992… |
| 14 | 60,831778524609809844259901824524… |
| 15 | 65,112544048081606660875054253183… |
| 16 | 67,079810529494173714478828896522… |
| 17 | 69,546401711173979252926857526554… |
| 18 | 72,067157674481907582522107969826… |
| 19 | 75,704690699083933168326916762030… |
| 20 | 77,144840068874805372682664856304… |
| 21 | 79,337375020249367922763592877116… |
| 22 | 82,910380854086030183164837494770… |
| 23 | 84,735492980517050105735311206827… |
| 24 | 87,425274613125229406531667850919… |
| 25 | 88,809111207634465423682348079509… |
| 26 | 92,491899270558484296259725241810… |
| 27 | 94,651344040519886966597925815208… |
| 28 | 95,870634228245309758741029219246… |
| 29 | 98,831194218193692233324420138622… |
| 30 | 101,317851005731391228785447940292… |
| 31 | 103,725538040478339416398408108695… |
| 32 | 105,446623052326094493670832414111… |
| 33 | 107,168611184276407515123351963086… |
| 34 | 111,029535543169674524656450309944… |
| 35 | 111,874659176992637085612078716770… |
| 36 | 114,320220915452712765890937276191… |
| 37 | 116,226680320857554382160804312064… |
| 38 | 118,790782865976217322979139702699… |
| 39 | 121,370125002420645918945532970499… |
| 40 | 122,946829293552588200817460330770… |
| 41 | 124,256818554345767184732007966129… |
| 42 | 127,516683879596495124279323766906… |
| 43 | 129,578704199956050985768033906179… |
| 44 | 131,087688530932656723566372461501… |
| 45 | 133,497737202997586450130492042640… |
| 46 | 134,756509753373871331326064157169… |
| 47 | 138,116042054533443200191555190282… |
| 48 | 139,736208952121388950450046523382… |
| 49 | 141,123707404021123761940353818475… |
| 50 | 143,111845807620632739405123868913… |
Literatur
Die Fachliteratur zur Mathematik der Riemannschen Zetafunktion und ihrer Nullstellen wurde zu einem großen Teil in englischer Sprache verfasst. Es existiert vergleichsweise wenig deutschsprachige Literatur zu diesem Thema.
- John Brian Conrey: More than two fifths or the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). Band 1989, Nr. 399. Walter de Gruyter, Berlin, New York 1989, S. 1–26.
- Eugen Jahnke: Tafeln höherer Funktionen. Teubner, Stuttgart 1966.
- Bernhard Riemann: Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse. In: Monatsberichte der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. Berlin 1859, S. 671–680 (Wikisource).
- Atle Selberg: On the zeros of the Riemann zeta-function. In: Skr. Norske Vid. Akad. Oslo. Band 10, 1942, S. 1–59.
- Edward Charles Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta-Function. 1951.
- Sergei Michailowitsch Woronin: Theorem on the 'universality' of the Riemann zeta-function. In: Mathematics of the USSR-Izvestiya. Band 9, Nr. 3, 1975, S. 443–445.
Numerische Berechnung nicht-trivialer Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion:
Weblinks
- The LMFDB Collaboration (L-functions and Modular Forms Database): Zeros of zeta(s). Abgerufen am 8. Juni 2018 (englisch, Online-Berechnung nicht-trivialer Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion).
- Andrew Odlyzko: Table of zeros of the Riemann zeta function. Abgerufen am 8. Juni 2018 (englisch).
- Gleb Beliakov, Yuri Matiyasevich (2013): Zeroes of Riemann's zeta function on the critical line with 40000 decimal digits accuracy (1,48 GB)
Einzelnachweise
- ↑ Harold Edwards: Riemann's Zeta Function, Dover, Mineola, 2001, ISBN 0-486-41740-9, Abschnitte 6.1–6.4, S. 96–118 (englisch).
- ↑ Andrew Odlyzko: The 1022-nd zero of the Riemann zeta function (PDF; 178 kB). In: M. van Frankenhuysen, M. L. Lapidus (Hrsg.): Dynamical, Spectral, and Arithmetic Zeta Functions. ( = Contemporary Mathematics. Nr. 290). American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-5626-X, S. 139–144 (englisch).
- ↑ Andrew Odlyzko: Analytic Computations in Number Theory (PDF; 188 kB). In: W. Gautschi (Hrsg.): Mathematics of Computation 1943–1993: A Half-Century of Computational Mathematics (= Proceedings of symposia in applied mathematics. Nr. 48). American Mathematical Society, 1994, ISBN 0-8218-0291-7, S. 451–463 (englisch).
- ↑ Andrew Odlyzko, Arnold Schönhage: Fast Algorithms for multiple evaluations of the Riemann zeta function (PDF; 1,2 MB). In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 309, Nr. 2, 1988, S. 797–809 (englisch).
