Lobatschewskische Formeln

Die lobatschewskischen Formeln sind zwei mathematische Formeln für uneigentliche Integrale im Zusammenhang mit dem Kardinalsinus, welche dem Teilgebiet der Analysis zuzurechnen sind. Gemäß der Darstellung von G. M. Fichtenholz in Band II der dreibändigen Differential- und Integralrechnung wurden sie von dem russischen Mathematiker Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski (1792–1856) gefunden.

Darstellung der Formeln

Sie lauten:

Gegeben sei eine reelle Funktion

$f\colon [0,\infty [\to \mathbb {R}$

mit folgenden Eigenschaften:

(1) $f$ ist im Intervall $\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]$ eigentlich oder uneigentlich Riemann-integrierbar.

(2) Die mit dem Kardinalsinus gebildete Produktfunktion $f\cdot \operatorname {si} \colon [0,\infty [\to \mathbb {R} \;,x\mapsto f(x)\cdot \operatorname {si} (x)$ ist im Intervall $[0,\infty [$ uneigentlich Riemann-integrierbar.

(3) $f$ ist eine $\pi$-periodische Funktion, erfüllt also für $x\in [0,\infty [$ stets die Gleichung $f(x+{\pi })=f(x)$ .

(4) $f$ erfüllt für $x\in [0,\pi ]$ stets die Gleichung $f({\pi }-x)=f(x)$ .

Dann gilt:

(a) $\int _{0}^{\infty }{f(x)\cdot {\frac {\sin x}{x}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{f(x)}\,\mathrm {d} x$

(b) $\int _{0}^{\infty }{f(x)\cdot {\frac {{\sin }^{2}x}{x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{f(x)}\,\mathrm {d} x$

Anwendungen

Mit Hilfe der lobatschewskischen Formeln (und unter Zuhilfenahme der üblichen Rechenmethoden der Integralrechnung) lassen sich mehrere Identitäten ableiten, unter anderem die folgenden:

(A-1) $\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}$

(A-2) $\int _{0}^{\infty }{\frac {{\sin }^{2n+1}x}{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}\cdot {\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\;(n=0,1,2,3,\ldots )$

(A-3) $\int _{0}^{\infty }{\frac {{\sin }^{2}x}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}$

(A-4) $\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan {\left(a\cdot \sin x\right)}}{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}\cdot \ln {\left(a+{\sqrt {1+a^{2}}}\right)}\;(a>0)$

(A-5) $\int _{0}^{\infty }{\ln {|{\sin x}|}\cdot {\frac {\sin x}{x}}}\,\mathrm {d} x=-{{\frac {\pi }{2}}\cdot \ln 2}$

(A-6) $\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln {|{\cos x}|}}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {\pi }{2}}$

(A-7) $\int _{0}^{\infty }{\frac {{\ln }^{2}{|{\cos x}|}}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=-{\pi \cdot \ln 2}$

Hintergrund: Partialbruchzerlegungen

Wie Fichtenholz darlegt, beruhen die lobatschewskischen Formeln wesentlich auf den Partialbruchzerlegungen der beiden Funktionen $x\mapsto {\frac {1}{\sin x}}\;,\;x\mapsto {\frac {1}{{\sin }^{2}x}}\;(x\notin {\pi \cdot \mathbb {Z} })$ . Hier gilt:

${\frac {1}{\sin x}}={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n}\left({\frac {1}{x-n\pi }}+{\frac {1}{x+n\pi }}\right)}={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n}{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}{\pi }^{2}}}}$

sowie

${\frac {1}{{\sin }^{2}x}}={\frac {1}{x^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {1}{\left[x-n\pi \right]^{2}}}+{\frac {1}{\left[x+n\pi \right]^{2}}}\right)}$   .

Literatur

• G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 6. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974.