Masse-Feder-System

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Ein Masse-Feder-System (oder Feder-Masse-System) ist einerseits

• eine konkrete Kombination aus Masse-behafteten Körpern und Federn. Die gefedert gelagerten Körper können mechanische Schwingungen ausführen. Beispiele sind das Federpendel und der mit Federn aufgehängte Fahrzeugkörper. Im erweiterten Begriff Feder-Masse-Dämpfer-System (oder Masse-Feder-Dämpfer-System) wird auch das Abklingen der Schwingung infolge der Dämpfung angesprochen. Andererseits ist es auch
• ein Grundmodell für jeden schwingungsfähigen Prozess. Eine Kombination aus einer Masse und einer Feder wird allgemein als Referenzsystem zweiter Ordnung (Beschreibung mit Differenzialgleichung zweiter Ordnung) angesehen, wobei nicht alle damit erfassbaren Strukturen zweiter Ordnung schwingungsfähige Gebilde zu sein brauchen.

Feder-Masse-Systeme

Federpendel

→ Hauptartikel: Federpendel

Das Federpendel ist ein konkretes Masse-Feder-System, das aus einer einzelnen Masse, aus einer einzelnen Feder und optional aus einem einzelnen Dämpfungselement besteht (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle N=1} ).

Bahntechnik

→ Hauptartikel: Masse-Feder-System (Bahntechnik)

Zwischen Oberbau von Schienenwegen und dem Untergrund (z. B. betonierte Tunnelsohle) können federnde Bauteile eingebracht sein, damit sich von den Fahrzeugen ausgehende Erschütterungen nicht in die Umgebung ausbreiten und dort nicht als Körperschall wahrgenommen werden. Konkrete Massen sind aufeinander folgende Fahrbahnplatten oder Schottertröge. Sie sind auf konkreten Schraubenfedern (metallisch) oder Elastomer-Blöcken oder -Streifen gelagert.

Für diese in der Technik allgemein angewendete Maßnahme und ihren theoretischen Hintergrund zur Entkopplung von mechanischen Schwingungen wird in der Bahntechnik explizit der Arbeitsbegriff Masse-Feder-System verwendet.

Computergrafik

→ Hauptartikel: Masse-Feder-System (Computergrafik)

Zur zweidimensionalen bildhaften Darstellung der veränderlichen elastischen Verformung eines Körpers wird dieser in einem Modell aus vielen finiten (endlich kleinen) Massen, Federn und Dämpfungselementen simuliert. Mit der verwandten Methode der Finiten Elemente wird i. d. R. lediglich die „statische“ elastische Deformation modelliert, und die Dämpfungselemente entfallen. Da die träge Masse hierbei keine Rolle spielt, sind die finiten Elemente i. d. R. nur elastische Grundkörper (z. B. Stäbe).

Mathematische Beschreibung

Die allgemeinste mathematische Beschreibung eines Masse-Feder-Systems mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle N} Elementen, die jeweils Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle D} Bewegungsfreiheiten haben, lautet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\forall_{i=1}^{N} \forall_{d=1}^{D}\colon \frac{d^2 x_{i,d}}{dt^2} = \sum_{k=0}^{D} F_{i,d,k} x_{i,k} + \sum_{k=0}^{D} D_{i,d,k} \frac{dx_{i,k}}{dt} + \sum_{j=1}^{N} \sum_{k=1}^{D} \sum_{l=1}^{D} F_{ij,kl}(x_{i,k} -x_{j,l}) + \sum_{j=1}^{N} \sum_{k=1}^{D} \sum_{l=1}^{D} D_{ij,kl}\frac{d}{dt}(x_{i,k} -x_{j,l}) + \text{const}} }

Dabei sind $\textstyle i$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle j} Zählvariable für die Elemente, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle d} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle k} und $\textstyle l$ Zählvariablen für die Freiheitsgrade, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle F_{i,dk}} die Federkonstanten für die Auslenkung von Element $\textstyle i$ im Freiheitsgrad Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle k} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle F_{ij,kl}} die Federkonstanten der Kopplung zwischen Element $\textstyle i$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle j} bei Auslenkung im Freiheitsgrad $\textstyle k$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle l} , sowie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle D_{ij,kl}} die Dämpfungskonstanten zwischen Element $\textstyle i$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle j} bezüglich der Relativgeschwindigkeiten im Freiheitsgrad Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle k} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle l} . Der konstante Term $\textstyle \mathrm {const}$ beschreibt ein optionales bestehendes externes homogenes Feld. In realen Systemen gilt diese Beschreibung exakt für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle k = l = d} und näherungsweise für kleine Auslenkungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle k,l \neq d} .