Mastergleichung

Eine Mastergleichung ist eine phänomenologisch begründete Differentialgleichung erster Ordnung, die die Zeitentwicklung der Wahrscheinlichkeiten eines Systems beschreibt.

Beschreibung

Für Zustände aus einer diskreten Menge von Zuständen ist die Mastergleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}P_k}{\mathrm{d}t}=\sum_{\ell \ne k}(T_{k\ell}P_\ell - T_{\ell k}P_k). }

wobei $P_{k}$ die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich das System im Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} befindet, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_{k \ell}} die als konstant angenommene Übergangswahrscheinlichkeitsrate vom Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ell} zum Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} ist. Analog lässt sich die Mastergleichung für kontinuierliche Zustände (und entsprechenden Wahrscheinlichkeitsdichten) formulieren, nur mit einer Integration statt einer Summation wie bei diskreten Zuständen.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie gilt dies als ein kontinuierlicher Markow-Prozess, bei dem die integrierte Mastergleichung der Chapman-Kolmogorow-Gleichung entspricht.

Ist die Matrix Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle T_{\ell k}} symmetrisch (d. h. alle mikroskopischen Übergänge sind reversibel und die Übergangswahrscheinlichkeitsraten in beide Richtungen gleich), so gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_{k\ell} = T_{\ell k},}

und damit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}P_k}{\mathrm{d}t}=\sum_\ell T_{k\ell} (P_\ell - P_k). }

Die Mastergleichung (eine Integro-Differentialgleichung) kann als Partielle Differentialgleichung unendlicher Ordnung ausgedrückt werden: man spricht dann von der Kramers-Moyal-Entwicklung.

Beziehung zur Vorwärtsgleichung

Die Mastergleichung ist eine äquivalente Umformung der kolmogorowschen Vorwärtsgleichung. Zu einem zeitkontinuierlichen Markow-Prozess ist

$p_{ij}(t):=P(X(s+t)=j\mid X(s)=i)$

die Übergangswahrscheinlichkeit für den Übergang vom Zustand $i$ in den Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j} . Sie lassen sich für kleine Werte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta t} in der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_{ij}(\Delta t)=\delta_{ij}+q_{ij}\Delta t + o(\Delta t)} darstellen, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q=(q_{ij})} die Intensitätsmatrix ist, deren Einträge abseits der Hauptdiagonale die Sprungraten des Prozesses sind. Zum Eintrag $q_{kk}$ der Hauptdiagonale nimmt der negierte Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -q_{kk}} die Rolle der Wegsprungrate ein, deren Kehrwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -1/q_{kk}} der Erwartungswert der exponentialverteilten Verweildauer im Zustand ist. Mit $\delta _{ij}$ ist das Kronecker-Delta gemeint und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle o(\Delta t)} ist Landau-Notation. Fassen wir die Übergangswahrscheinlichkeiten zu einer Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(t):=(p_{ij}(t))} zusammen, ist ihre zeitliche Entwicklung beschrieben durch die kolmogorowsche Vorwärtsgleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm dP(t)}{\mathrm dt} = P(t)Q,}

wobei der Anfangswert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(0)} die Einheitsmatrix ist. Mittels Matrixexponential kann man ihre Lösung in der Form $P(t)=\exp(tQ)$ darstellen. Die Lösung erfüllt die Chapman-Kolmogorow-Gleichung $P(s+t)=P(s)P(t)$.

Weil jede Zeilensumme der Intensitätsmatrix null ist, gilt $q_{kk}=-\sum _{l\neq k}q_{kl}$. Man kommt hiermit zur Umformung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm dp_{ik}}{\mathrm dt} = \sum_l p_{il}q_{lk} = \sum_{l\ne k} p_{il}q_{lk} + p_{ik}q_{kk} = \sum_{l\ne k} (p_{il}q_{lk}-p_{ik}q_{kl}).}

Substituiert man mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_k:=p_{ik}} und die Intensitätsmatrix durch ihre Transponierte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_{kl}:=q_{lk}} , ergibt sich die beschriebene Form der Mastergleichung.

Anwendung

Die Mastergleichung kann zur Beschreibung der Zeitentwicklung einer statistischen Observablen $x$ benutzt werden:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle E(x)(t)=\sum _{x}xP_{x}(t)\implies {\frac {\mathrm {d} E(x)}{\mathrm {d} t}}(t)=\sum _{x}x{\frac {\mathrm {d} P_{x}}{\mathrm {d} t}}(t)} ,

wobei im hinteren Teil die Mastergleichung eingesetzt werden kann. Dies kann (nach Einführung der Sprungmomente) zur Herleitung der Linear Response Theorie benutzt werden.

Die Mastergleichung in der obigen Form wurde in der Quantenstatistik zuerst von Wolfgang Pauli abgeleitet und heißt deshalb auch Pauli-Mastergleichung. Sie ist eine Differentialgleichung für die Zustandswahrscheinlichkeiten, also die Diagonalelemente der Dichtematrix. Es gibt auch Verallgemeinerungen, die die Nichtdiagonalelemente einbeziehen (Mastergleichung in Lindblad-Form). Eine weitere Verallgemeinerung ist die Nakajima-Zwanzig-Gleichung im Mori-Zwanzig Formalismus.

Allgemeiner nennt man in der statistischen Mechanik Mastergleichungen grundlegende Gleichungen (häufig in der obigen Form einer Bilanzgleichung) für die Wahrscheinlichkeitsverteilungen, aus denen sich dann durch Näherungen und Grenzübergänge einfacher zu lösende Gleichungen ableiten lassen, wie beispielsweise Differentialgleichungen vom Typ der Fokker-Planck-Gleichung (die auch die Diffusionsgleichung umfasst) im Kontinuumslimes. Hinter diesen Näherungen steckt aber noch die mikroskopisch gültige Master-Gleichung, daher der Name.

Literatur

• Hartmut Haug: Statistische Physik – Gleichgewichtstheorie und Kinetik. 2. Auflage. Springer 2006, ISBN 3-540-25629-6.
• Markus F. Weber, Erwin Frey: Master equations and the theory of stochastic path integrals. In: Reports on Progress in Physics, Band 80, Nr. 4, 2017, S. 046601. doi:10.1088/1361-6633/aa5ae2. arxiv:1609.02849.

Siehe auch

• Markow-Prozess
• Ratengleichung