Michael-Gerade
Die Michael-Gerade oder Michael-Line, benannt nach Ernest Michael, ist ein spezieller, im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachteter topologischer Raum. Historisch war er das erste Beispiel eines normalen Raums, dessen Produkt mit einem metrischen Raum nicht wieder normal ist.[1]
Definition
Die Michael-Gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} ist die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} , woher die Bezeichnung Gerade rührt, zusammen mit der wie folgt definierten Topologie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau_M} : Offene Mengen sind die Vereinigungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U\cup I} , wobei
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} eine in der euklidischen Topologie offene Menge, das heißt eine Vereinigung von Intervallen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a,b)} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a,b \in \R}
- eine beliebige Teilmenge der irrationalen Zahlen
ist. Man zeigt, dass dadurch ein topologischer Raum definiert ist.[2][3]
Eigenschaften
- Die Michael-Gerade ist ein normaler Raum, sogar ein parakompakter Raum.[4]
- Ist der Raum der irrationalen Zahlen mit der relativen euklidischen Topologie, so ist das Produkt Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle M\times X} nicht normal. Das hat E. Michael in seiner unten zitierten Originalarbeit gezeigt.
- Die Michael-Gerade ist nicht metrisierbar, denn obiges Produkt wäre sonst ebenfalls metrisierbar und damit normal.
- Die Michael-Gerade ist kein Lindelöf-Raum. Ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (r_{n})_{n}} eine Abzählung der rationalen Zahlen, so bilden die Mengen Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (r_{n}-2^{-n},r_{n}+2^{-n})} und die einpunktigen Mengen aus allen irrationalen Punkten eine offene Überdeckung, die keine abzählbare Teilüberdeckung besitzt, denn die Vereinigung einer abzählbaren Teilmenge der Überdeckungsmengen hat höchstens das Lebesgue-Maß 4. Die Frage, ob es auch Lindelöf-Räume gibt, deren Produkt mit dem Raum der irrationalen Zahlen nicht normal ist, berührt die Axiomatik der Mengenlehre. Lindelöf-Räume mit dieser Eigenschaft nennt man Michael-Räume[5], die Michael-Gerade ist wegen der fehlenden Lindelöf-Eigenschaft kein Michael-Raum.
Einzelnachweise
- ↑ Ernest Michael: The product of a normal space and a metric space need not be normal. In: Bulletin of the American Mathematical Society. Bd. 69, Nr. 3, 1963, S. 375–376, doi:10.1090/S0002-9904-1963-10931-3.
- ↑ Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= BI-Hochschultaschenbücher. 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6, Aufgabe 38.
- ↑ Jun-iti Nagata: Modern General Topology (= North Holland Mathematical Library. Bd. 33). 2., revised edition. North Holland Publishing Co., Amsterdam u. a. 1985, ISBN 0-444-87655-3, S. 197.
- ↑ Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= BI-Hochschultaschenbücher. 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6, S. 136.
- ↑ L. Brian Lawrence: The influence of a small cardinal on the product of a Lindelöf space and the irrationals. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Bd. 110, Nr. 2, 1990, S. 535–542, doi:10.2307/2048101.
