Milnor-Faserung
In der Mathematik sind Milnor-Faserungen ein häufig studiertes Beispiel der Singularitätentheorie.
Definition
Sei ein Polynom in Variablen, für das und ein kritischer Punkt ist. Sei und für ein kleines .
Als Milnor-Faserung bezeichnet man die Abbildung
- .
Als Milnor-Fasern bezeichnet man die Fasern (Urbilder) dieser Abbildung.
Eigenschaften der Milnor-Faserung
- Für ist ein Kegel über . Letzteres wird als Link der Singularität bezeichnet.
- Der Link der Singularität ist -zusammenhängend.
- Die Abbildung ist eine lokal-triviale Faserung.
- Wenn die komplexe Dimension des Keims der kritischen Menge von ist, dann sind die Milnor-Fasern -zusammenhängend. Insbesondere sind im Fall isolierter Singularitäten die Milnor-Fasern -zusammenhängend.
- Die Milnor-Fasern haben den Homotopietyp eines endlichen CW-Komplexes der reellen Dimension . Im Fall isolierter Singularitäten haben die Milnor-Fasern den Homotopietyp eines Bouquets von -Sphären. Die Zahl heißt die Milnor-Zahl der Singularität. Sie kann berechnet werden als
- ,
- wobei die -Algebra der Keime analytischer Funktionen in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0\in\C^{n+1}} ist.
- Die Milnor-Fasern sind parallelisierbar.
- Monodromiesatz: Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h\colon F\to F} die Monodromie der Milnor-Faserung. Dann sind die Eigenwerte von
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h^*\colon H^i(F;\C)\to H^i(F;\C)}
- stets Einheitswurzeln. Tatsächlich gibt es positive Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p}
und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q=i+1}
, so dass
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ((h^*)^p-id)^q=0} .
Beispiel
Für
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(z_1,z_2)=z_1^p+z_2^q}
ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=1} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_\epsilon\simeq S^3} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_\epsilon\cap V(f)} ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (p,q)} -Torusknoten, und die Existenz der Milnor-Faserung zeigt, dass es sich bei Torusknoten um gefaserte Knoten handelt. Die Faser ist eine nicht-kompakte Fläche, welche den Homotopietyp eines Bouquets von Kreisen hat, also eines Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} -dimensionalen CW-Komplexes.
Literatur
- John Milnor: Singular points of complex hypersurfaces. Princeton 1968.