Mittlere Krümmung

Die mittlere Krümmung ist neben der gaußschen Krümmung ein wichtiger Krümmungsbegriff in der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{3}$, einem Gebiet der Differentialgeometrie.

Definition

Gegeben seien eine reguläre Fläche im $\mathbb {R} ^{3}$ und ein Punkt dieser Fläche. Die mittlere Krümmung $H$ der Fläche in diesem Punkt ist das arithmetische Mittel der beiden Hauptkrümmungen $k_{1}$ und $k_{2}$. Das heißt, die mittlere Krümmung ist definiert als

$H:={\frac {1}{2}}(k_{1}+k_{2}).$

Von besonderem Interesse sind sogenannte Minimalflächen, für welche $H=0$ bzw. $k_{1}=-k_{2}$ gilt.

Allgemeiner kann man die mittlere Krümmung für n-dimensionale Hyperflächen des $\mathbb {R} ^{n+1}$ durch $H:={\tfrac {1}{n}}\operatorname {Spur} (S)$ definieren. Dabei ist $S$ die Weingarten-Abbildung und $\operatorname {Spur}$ bezeichnet die Spur einer Matrix.

Berechnung

• Sind $E$, $F$, $G$ bzw. $L$, $M$, $N$ die Koeffizienten der ersten bzw. zweiten Fundamentalform der Fläche, so gilt die Formel

$H={\frac {LG-2MF+NE}{2(EG-F^{2})}}$

Wenn die Fläche isotherm parametrisiert ist, das heißt, wenn für die Koeffizienten der ersten Fundamentalform $E=G$ und $F=0$ gilt, dann vereinfacht sich diese Formel zu

$H={\frac {L+N}{2E}}.$

• Ist die betrachtete Fläche der Graph einer Funktion $f$ über dem Parameterbereich $U$, also $X(u,v)=(u,v,f(u,v))$ für alle $(u,v)\in U$, so gilt für die mittlere Krümmung:

$H={\frac {(1+f_{v}^{2})f_{uu}-2f_{u}f_{v}f_{uv}+(1+f_{u}^{2})f_{vv}}{2{\sqrt {1+f_{u}^{2}+f_{v}^{2}}}^{3}}}$.

Hierbei bezeichnen $f_{u}$ und $f_{v}$ die ersten und $f_{uu}$, $f_{uv}$ und $f_{vv}$ die zweiten partiellen Ableitungen von $f$.

Beispiele

• Die Oberfläche einer Kugel mit Radius $r$ hat die mittlere Krümmung $H={\tfrac {1}{r}}$.

• In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiszylinders mit Radius $r$ ist die mittlere Krümmung gleich $H={\tfrac {1}{2r}}$

Weitere Eigenschaften

• Für eine Fläche $X=X(u,v)$ gilt die Gleichung

$H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}X,$

mit der Einheitsnormale ${\vec {n}}$, $g_{ij}$ als erster Fundamentalform und $\nabla _{i}$ der kovarianten Ableitung.

• Wenn eine Fläche $X=X(u,v)$ isotherm parametrisiert ist, so genügt sie dem Rellichschen H-Flächensystem

$\Delta X=2HX_{u}\times X_{v}.$

• Ist die Fläche als Niveaufläche einer Funktion $F$ gegeben, so gilt

$2H=-\operatorname {div} {\vec {n}}=-\operatorname {div} {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}.$

Dabei ist $\operatorname {div}$ die Divergenz und ${\vec {n}}$ das Einheitsnormalenfeld ${\tfrac {\nabla F}{|\nabla F|}}.$ Diese Formel heißt Formel von Bonnet und gilt allgemein für n-dimensionale Hyperflächen.

Literatur

• Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten. 4. überarbeitete Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8348-0411-2.