Mittlerer Binomialkoeffizient

In der Mathematik ist der $n$-te mittlere Binomialkoeffizient für eine nichtnegative ganze Zahl $n$ gegeben durch

${2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}$

Der Name "mittlerer Binomialkoeffizient" kommt daher, dass diese Binomialkoeffizienten im pascalschen Dreieck genau in der Zeilenmitte liegen:

										$\mathbf {1}$
									$1$		$1$
								$1$		$\mathbf {2}$		$1$
							$1$		$3$		$3$		$1$
						$1$		$4$		$\mathbf {6}$		$4$		$1$
					$1$		$5$		$10$		$10$		$5$		$1$
				$1$		$6$		$15$		$\mathbf {20}$		$15$		$6$		$1$
			$1$		$7$		$21$		$35$		$35$		$21$		$7$		$1$
		$1$		$8$		$28$		$56$		$\mathbf {70}$		$56$		$28$		$8$		$1$

Die ersten mittleren Binomialkoeffizienten sind also (Folge A000984 in OEIS):

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, …

Darstellungen

Es gilt

${2n \choose n}=2^{2n}\cdot {\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}}.$

Der Bruch ist verwandt mit dem Wallis-Produkt.

Nach der Vandermonde-Faltung gilt

${2n \choose n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}.$

Abschätzungen

Mit Hilfe der Stirling-Formel erhält man für $n\geq 1$ die Abschätzung:

${\frac {1}{2}}{\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}<{2n \choose n}<{\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}$

Also gilt (zur Notation siehe Landau-Symbol):

${2n \choose n}\in \Theta \left({\frac {4^{n}}{\sqrt {n}}}\right)$

Genauer:

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left({2n \choose n}\left({\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\right)^{-1}\right)=1$

Erzeugende Funktion

Die erzeugende Funktion lautet

${\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=\mathbf {1} +\mathbf {2} x+\mathbf {6} x^{2}+\mathbf {20} x^{3}+\mathbf {70} x^{4}+\mathbf {252} x^{5}+\cdots .$

Zahlentheoretische Eigenschaften

Nach dem Satz von Wolstenholme gilt für Primzahlen $p\geq 5$

${2p \choose p}\equiv 2\mod p^{3}$

(für die Symbolik siehe Kongruenz (Zahlentheorie)).

Außerdem kommen keine ungeraden Zahlen außer $1$ vor.

Weiterhin gilt, dass die Zahlen für $n>4$ nie quadratfrei sind, siehe Satz von Sárkőzy.

Integraldarstellung

Eine Integraldarstellung lautet wie folgt:

${\binom {2n}{n}}={\frac {2^{2n+1}}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+1)^{n+1}}}$

Darstellung mit Gammafunktion

${\binom {2n}{n}}=(-4)^{n}{\frac {\sqrt {\pi }}{\Gamma ({\frac {1}{2}}-n)\Gamma (1+n)}}$

Reihen

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {2n}{n}}{(-4)^{n}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$

Allgemein gilt (bei Divergenz der Reihe für mit der Gammafunktion berechnete regularisierte Werte):

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {2n}{n}}{(p/q)^{n}}}={\sqrt {\frac {p}{p-4q}}}$ mit $q\in \mathbb {N} ,p\in \mathbb {Z} /\{0\}$

Zudem gilt für Partialsummen (Folge A285388 in OEIS):

$\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k=0}^{n^{2}-1}{\frac {2k \choose k}{4^{k}n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n{2n^{2} \choose n^{2}}}{2^{2n^{2}-1}}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {{\sqrt {m}}{2m \choose m}}{2^{2m-1}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}={\frac {1}{\Gamma ({\frac {3}{2}})}}=\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma (1+{\frac {n}{2}})}}}$

Reihen der Kehrwerte

Es gilt:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\binom {2n}{n}}}={\frac {1}{27}}(2\pi {\sqrt {3}}+9)=0{,}7363998587187\ldots$

Die einzelnen Nachkommastellen bilden Folge A073016 in OEIS.

Einige weitere ähnliche Reihen sind:

${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n{\binom {2n}{n}}}}&={\frac {1}{9}}\pi {\sqrt {3}}&=&\,0{,}60459\ldots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}&={\frac {1}{18}}\pi ^{2}&=&\,0{,}54831\dots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}{\binom {2n}{n}}}}&={\frac {1}{18}}\pi {\sqrt {3}}\left(\psi _{1}({\tfrac {1}{3}})-\psi _{1}({\tfrac {2}{3}})\right)-{\frac {4}{3}}\zeta (3)&{}&{}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}{\binom {2n}{n}}}}&={\frac {17}{3240}}\pi ^{4}&=&\,0{,}51109\ldots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{5}{\binom {2n}{n}}}}&={\frac {1}{432}}\pi {\sqrt {3}}\left(\psi _{3}({\tfrac {1}{3}})-\psi _{3}({\tfrac {2}{3}})\right)-{\frac {19}{3}}\zeta (5)+{\frac {1}{9}}\zeta (3)\pi ^{2}&{}&{}\end{aligned}}$

vgl. Folge A073010 in OEIS, Folge A086463 in OEIS, -, Folge A086464 in OEIS, -. Dabei bezeichnet $\ \psi _{1}$ die Digamma-Funktion, $\ \psi _{2}$ die Trigammafunktion und allgemein $\ \psi _{n}$ die $n$-te Polygammafunktion; $\ \zeta (x)$ die Riemannsche Zetafunktion und $\ \pi$ die Kreiszahl.

Ganz allgemein gilt folgende Formel:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {1}{2}}\,\cdot \,{}_{k+1}F_{k}\left(\underbrace {1,\ldots ,1} _{k+1};{\tfrac {3}{2}},\underbrace {2,\ldots ,2} _{k-1};{\tfrac {1}{4}}\right)$

für $k\geq 1$, wobei ${}_{m}F_{n}(a_{1},\ldots ,a_{m};b_{1},\ldots ,b_{n};x)$ die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion bezeichnet; vgl.

Auch die entsprechenden alternierenden Reihen konvergieren, und zwar zu folgenden Grenzwerten:

${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\binom {2n}{n}}}&={\frac {1}{25}}\left(5+4{\sqrt {5}}\cdot \operatorname {arcsch} (2)\right)&=&\,0{,}37216357638560161555577\ldots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n{\binom {2n}{n}}}}&={\frac {2}{5}}{\sqrt {5}}\cdot \operatorname {arcsch} (2)&=&\;0{,}430408940964\ldots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}&=2\left(\operatorname {arcsch} (2)\right)^{2}&=&\;0{,}463129641154\ldots \\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{3}{\binom {2n}{n}}}}&={\frac {2}{5}}\zeta (3)&=&\;0{,}48082276126\ldots \end{aligned}}$

vgl. Folge A086465 in OEIS, Folge A086466 in OEIS, Folge A086467 in OEIS, Folge A086468 in OEIS.

Analog lässt sich allgemein schreiben:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{k}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {1}{2}}\,\cdot \,{}_{k+1}F_{k}\left(\underbrace {1,\ldots ,1} _{k+1};{\tfrac {3}{2}},\underbrace {2,\ldots ,2} _{k-1};{\tfrac {-1}{4}}\right).$

Verwandte Begriffe

Eng mit den mittleren Binomialkoeffizienten verwandt sind die Catalan-Zahlen $C_{n}$. Sie sind gegeben durch

$C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}$

Verallgemeinerung

Im pascalschen Dreieck haben nur die Zeilen mit geradzahligem Index einen eindeutigen mittleren Eintrag, die Zeilen mit ungeradzahligem Index haben dagegen zwei in der Mitte liegende Einträge. Da diese beiden Einträge jedoch stets übereinstimmen, werden sie gelegentlich in die Definition des mittleren Binomialkoeffizienten mit einbezogen, sie lautet dann:

${m \choose {\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }}$ für $m\in \mathbb {N} _{0}$.

Die erste Definition erhält man, wenn man hier die geraden Zahlen $m$ betrachtet.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Central Binomial Coefficients. In: MathWorld (englisch).