n-Vektor-Modell

Das n-Vektor-Modell oder auch O(n)-Modell ist ein Modell der statistischen Physik. Es handelt sich dabei um ein stark vereinfachtes (oder effektives) Modell zur Beschreibung von Phasenübergangen, kritischem Verhalten und Magnetismus.

Klassische Formulierung

Im Modell sind (klassische) Spins Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{S}} mit n Komponenten auf den Gitterpunkten eines Kristallgitters platziert. In der ursprünglichen Formulierung des Modells von H. E. Stanley aus dem Jahre 1968 wechselwirken dabei lediglich die am nächsten benachbarten Spins ${\vec {S}}_{i}$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{S}_j} miteinander (nächste Nachbar-Wechselwirkung), und die Spins besitzen Einheitslänge. Die Hamilton-Funktion ist gegeben als:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H = -J \sum_{\langle i, j\rangle} \vec{S}_i \cdot \vec{S}_j}

mit der Kopplungskonstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle J} .

Die Spins besitzen die Dimension Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} , das Kristallgitter kann aber eine davon unterschiedliche Dimension Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} besitzen.

Das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -Vektor-Modell enthält als Spezialfälle folgende intensiv untersuchte Modelle der statistischen Physik, in denen auch die Diskussion des Modells am besten geschieht:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=0} – Self-Avoiding Walks (SAW)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=1} – das Ising-Modell

$n=2$ – das (klassische) XY-Modell

$n=3$ – das (klassische) Heisenberg-Modell.

Verallgemeinerungen

Eine übliche Verallgemeinerung des Modells in allen Spezialfällen ist, nicht nur die Wechselwirkung der nächsten Nachbarn zu betrachten, sondern auch die Wechselwirkungen zwischen weiter entfernten Nachbarn. Dabei kann auch die Kopplungskonstante vom Ort abhängen. Der Hamiltonian ist dann gegeben als:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H = \sum_{i,j}J_{ij} \vec{S}_i \cdot \vec{S}_j \qquad i, j: \, \mathrm{Gitterpl \ddot atze}}

Weitere Verallgemeinerungen sind in den jeweiligen Spezialfällen angegeben.

Quantenmechanische Formulierung

In der quantenmechanischen Formulierung betrachtet man nicht mehr klassische, sondern quantenmechanische Spins, ausgedrückt über Spinoperatoren. Einer der Hauptunterschiede zwischen ihnen besteht darin, dass die Spinoperatoren in verschiedenen Dimensionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} nicht mehr vertauschen (kommutieren). Die Spezialfälle des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -Vektor-Modells sind dann:

$n=0$ – Self-Avoiding Walks (SAW)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=1} – das Ising-Modell

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=2} – das (quantenmechanische) XY-Modell

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=3} – das (quantenmechanische) Heisenberg-Modell.