Neyman-Kriterium

Das Neyman-Kriterium ist in der mathematischen Statistik ein Kriterium für die Suffizienz von σ-Algebren und Suffizienz von Statistiken bei statistischen Modellen mit dominierten Verteilungsklassen. Das Neyman-Kriterium leitet sich aus dem Satz von Halmos-Savage ab, ist aber leichter anzuwenden als dieser. Somit ist das Neyman-Kriterium eines der gängigsten Kriterien, um zu überprüfen, ob eine Abbildung Daten ohne Informationsverlust komprimiert.

Es ist nach Jerzy Neyman benannt.

Aussage

Für σ-Algebren

Gegeben sei ein statistisches Modell $(\Omega ,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})$ mit dominierter Verteilungsklasse ${\mathcal {P}}$, die von $\nu$ dominiert wird, sowie eine Unter-σ-Algebra ${\mathcal {S}}$ von ${\mathcal {A}}$.

Dann ist ${\mathcal {S}}$ suffizient genau dann, wenn eine ${\mathcal {A}}-{\mathcal {B}}([0,\infty ))$-messbare Funktion $h$ existiert und für jedes $P\in {\mathcal {P}}$ eine ${\mathcal {S}}-{\mathcal {B}}([0,\infty ))$-messbare Funktion $f_{P}$ existiert, so dass

${\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \nu }}(x)=h(x)\cdot f_{P}(x)$

gilt bis auf eine $\nu$-Nullmenge. Dabei ist ${\tfrac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \nu }}(x)$ die Radon-Nikodým-Ableitung von $P$ bezüglich $\nu$.

Für Statistiken

Unter denselben Voraussetzungen wie oben ist eine Statistik

$T:(\Omega ,{\mathcal {A}})\to (\Omega ^{*},{\mathcal {A}}^{*})$

suffizient genau dann, wenn eine ${\mathcal {A}}-{\mathcal {B}}([0,\infty ))$-messbare Funktion $h$ existiert und für jedes $P\in {\mathcal {P}}$ eine $\Omega ^{*}-{\mathcal {B}}([0,\infty ))$-messbare Funktion $f_{P}$ existiert, so dass

${\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \nu }}(x)=h(x)\cdot f_{P}(T(x))$

gilt bis auf eine $\nu$-Nullmenge. Dies folgt aus dem Faktorisierungslemma und der Tatsache, dass $T$ eine suffiziente Statistik ist genau dann, wenn $\sigma (T)$ eine suffiziente σ-Algebra ist.

Beispiel: Suffizienz der Exponentialfamilie

Per Definition hat für die Exponentialfamilie ${\mathcal {P}}$ bezüglich $\mu$ jedes $P\in {\mathcal {P}}$ die Dichtefunktion

$f_{\vartheta }(x)={\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} \mu }}(x)=C(\vartheta )h(x)\exp(\langle Q(\vartheta );T(x)\rangle )$

Dies ist aber bereits genau die oben geforderte Zerlegung. $h$ und $T$ sind bereits korrekt, man setzt dann nur noch

$f_{P}(y)={\tilde {f}}_{\vartheta }(y)=C(\vartheta )\exp(\langle Q(\vartheta );y\rangle )$

um zu zeigen, dass $T$ eine suffiziente Statistik für die Exponentialfamilie ist.