Normaler Zustand

Normale Zustände werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um gewisse stetige, lineare Funktionale auf einer Von-Neumann-Algebra.

Definitionen

Es sei $A$ eine Von-Neumann-Algebra über einem Hilbertraum $H$. Ein Zustand ist ein lineares Funktional Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {C} } mit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle f(1)=1} und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle f(a^{*}a)\geq 0} für alle $a\in A$. Man kann zeigen, dass Zustände automatisch stetig sind mit $\|f\|=1$, das gilt sogar für jede C*-Algebra. Für Von-Neumann-Algebren stehen weitere Operatortopologien zur Verfügung und es ist daher nur natürlich, Stetigkeitseigenschaften bzgl. dieser Topologien zu studieren.

Ferner sind Von-Neumann-Algebren gegenüber der Supremumsbildung nach oben gerichteter Familien selbstadjungierter Elemente abgeschlossen. Dabei ist die Ordnung $a\leq b$ für $a,b\in A$ durch die Bedingung $\langle a\xi ,\xi \rangle \leq \langle b\xi ,\xi \rangle$ für alle $\xi \in H$ definiert. Man wird Zustände betrachten wollen, die Suprema erhalten. Wir definieren daher:

Ein Zustand $f$ auf der Von-Neumann-Algebra $A$ heißt normal, wenn folgendes gilt: Ist $(a_{i})_{i\in I}$ ein monoton wachsendes Netz in $A$ mit Supremum $a\in A$, so gilt $\textstyle \sup _{i\in I}f(a_{i})=f(a)$.

Ein Spezialfall eines monotonen Netzes entsteht durch eine Familie paarweise orthogonaler Orthogonalprojektionen, das heißt von Elementen Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle e_{i}\in A} mit $e_{i}^{*}=e_{i}=e_{i}^{2}$ und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle e_{i}e_{j}=0} für alle $i\not =j$. Dann ist die Familie aller endlichen Summen von Elementen dieser Familie ein aufsteigendes Netz von Orthogonalprojektionen, dessen Supremum man die Summe $\textstyle \sum _{i\in I}e_{i}$ nennt.

Ein Zustand $f$ auf der Von-Neumann-Algebra $A$ heißt vollständig additiv, wenn folgendes gilt: Ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (e_{i})_{i\in I}} eine Familie paarweise orthogonaler Orthogonalprojektionen in $A$, so ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \textstyle f(\sum _{i\in I}e_{i})=\sum _{i\in I}f(e_{i})} .

Charakterisierung normaler Zustände

Definitionsgemäß ist die vollständige Additivität schwächer als die Normalität, da bei ersterer nur die Supremumsbildung ganz bestimmter Netze gefordert wird. Da Orthogonalprojektionen die Norm 1 haben, handelt es sich zudem um eine Bedingung, die auf die Einheitskugel $A_{1}$ von $A$ beschränkt ist. Es gilt :

Für einen Zustand $f$ auf der Von-Neumann-Algebra $A$ sind folgende Aussagen äquivalent:

• $f$ ist normal.
• $f$ ist vollständig additiv.
• Es gibt einen positiven Spurklasseoperator $s$ mit $f(a)=\mathrm {Sp} (sa)$ für alle $a\in A$
• $f$ ist bzgl. der ultraschwachen Topologie stetig.
• $f$ ist bzgl. der ultrastarken Topologie stetig.
• Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle f|_{A_{1}}} ist bzgl. der schwachen Operatortopologie stetig.
• $f|_{A_{1}}$ ist bzgl. der starken Operatortopologie stetig.

Dabei bedeutet $f|_{A_{1}}$ die Einschränkung von $f$ auf die Einheitskugel $A_{1}$. Die ersten beiden Bedingungen beziehen sich nur auf die Ordnungsstruktur der Von-Neumann-Algebra und diese lässt sich sogar rein algebraisch definieren, denn $a\leq b$ ist äquivalent zu $b-a=c^{*}c$ für ein $c\in A$. Obiger Satz zeigt, dass diese Bedingungen zu rein topologischen Bedingungen äquivalent sind.

Prädual

Die Stetigkeitsbedingungen in obiger Liste äquivalenter Bedingungen kann man auch an beliebige lineare Funktionale Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A\rightarrow \mathbb {C} } stellen; man spricht dann von normalen Funktionalen. Die normalen Funktionale bilden einen Unterraum des Dualraums Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A^{\#}} von $A$. Dieser ist normabgeschlossen und wird von den normalen Zuständen erzeugt; er wird mit $A_{\#}$ bezeichnet.

Jedes Element $a\in A$ der Von-Neumann-Algebra definiert mittels $\varphi _{a}(f):=f(a)$ ein stetiges lineares Funktional $\varphi _{a}$ auf $A_{\#}$ und man kann zeigen, dass $\varphi :A\rightarrow (A_{\#})^{\#},\,a\mapsto \varphi _{a}$ ein isometrischer Isomorphismus ist. In diesem Sinne ist $A$ der Dualraum von $A_{\#}$; letzteren nennt man daher den Prädualraum von $A$.

Diese Überlegungen zeigen, dass jede Von-Neumann-Algebra als Dualraum eines Banachraums auftritt. Nach einem Satz von S. Sakai charakterisiert dies die Von-Neumann-Algebren und den C*-Algebren.

Darstellungen

Bekanntlich definiert jeder Zustand $f$ auf einer C*-Algebra $A$ mittels GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung $\pi _{f}:A\rightarrow L(H_{f})$ in die Algebra der Operatoren auf einem Hilbertraum $H_{f}$. Ist $A$ eine Von-Neumann-Algebra und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} ein normaler Zustand, so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi_f} ultraschwach stetig und das Bild Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi_f(A)} ist eine Von-Neumann-Algebra.

Siehe auch

• σ-endliche Von-Neumann-Algebren zeichnen sich dadurch aus, dass es auf ihnen einen treuen, normalen Zustand gibt.