Normalordnung

In der Quantenfeldtheorie bezeichnet die Normalordnung (auch Wick-Ordnung oder Normalprodukt) den Zustand, in welchem alle Erzeugungsoperatoren links der Vernichtungsoperatoren stehen. Analog wird die Antinormalordnung definiert, wenn die Vernichtungsoperatoren links der Erzeugungsoperatoren stehen.

Notation

Die Notation ${\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}$ bezeichnet die Normalordnung von ${\hat {O}}$, wobei ${\hat {O}}$ ein beliebig angeordnetes Produkt von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (oder Quantenfeldern) ist. Alternativ wird auch die Notation ${\mathcal {N}}({\hat {O}})$ benutzt.

Bosonen

Bei Verwendung der bosonischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren wird die folgende Notation verwendet:

• ${\hat {b}}^{\dagger }$: Erzeugungsoperator.
• ${\hat {b}}$: Vernichtungsoperator.

Diese erfüllen die typischen Kommutatorrelationen für Bosonen.

Beispiele

1. Das einfachste Beispiel ist ${\mathopen {:}}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\mathopen {:}}$:

${:}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{:}={\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}.$

Hier wird ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$ nicht verändert, weil der Ausdruck bereits in der Normalordnung vorliegt. Der Erzeugungsoperator ${\hat {b}}^{\dagger }$ steht bereits links des Vernichtungsoperator ${\hat {b}}$.

2. Ein interessanteres Beispiel ist die Normalordnung von ${\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }$:

${:}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{:}={\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}.$

Hier wird durch die Normalordnungs-Operation der Ausdruck umgeordnet, sodass ${\hat {b}}^{\dagger }$ links von ${\hat {b}}$ steht.

Diese beiden Ergebnisse können zusammen mit den oben genannten Kommutatorrelationen zu

${\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}+1={:}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{:}+1.$

oder

${\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }-{:}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{:}=1.$

zusammengefasst werden. Diese Gleichung wird bei der Definition der Kontraktionen im Wick-Theorem benutzt.

3. Falls mehrere Operatoren beteiligt sind, so ergibt sich:

${:}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{:}={\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{\hat {b}}{\hat {b}}{\hat {b}}=({\hat {b}}^{\dagger })^{3}{\hat {b}}^{4}.$

4. Ein einfaches Beispiel zeigt, dass die Normalordnung keine lineare Operation ist:

${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}={:}{\hat {b}}{\hat {b}}^{\dagger }{:}={:}1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{:}\neq {:}1{:}+{:}{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}{:}=1+{\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$

5. Wenn mehrere Bosonen beteiligt sind, so ergibt sich:

1. ${:}{\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{2}{:}={\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{2}$
2. ${:}{\hat {b}}_{2}{\hat {b}}_{1}^{\dagger }{:}={\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{2}$
3. ${:}{\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{2}{\hat {b}}_{3}{:}={\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{2}{\hat {b}}_{3}$
4. ${:}{\hat {b}}_{2}{\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{3}{:}={\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{2}{\hat {b}}_{3}$
5. ${:}{\hat {b}}_{3}{\hat {b}}_{2}{\hat {b}}_{1}^{\dagger }{:}={\hat {b}}_{1}^{\dagger }{\hat {b}}_{2}{\hat {b}}_{3}$

Fermionen

Einzelne Fermionen

Bei Verwendung von Fermionen werden die Operatoren

• ${\hat {f}}^{\dagger }$: Fermionischer Erzeugungsoperator,
• ${\hat {f}}$: Fermionischer Vernichtungsoperator

benutzt. Diese erfüllen die typischen Antikommutatorrelationen für Fermionen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[\hat{f}^\dagger, \hat{f}^\dagger \right]_+ = 0}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[\hat{f}, \hat{f} \right]_+ = 0}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[\hat{f}, \hat{f}^\dagger \right]_+ = 1}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[A, B \right]_+ \equiv AB + BA} den Antikommutator definiert. Diese können umgeschrieben werden zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{f}^\dagger \hat{f}^\dagger = 0 }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{f} \hat{f} = 0 }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{f} \hat{f}^\dagger = 1 - \hat{f}^\dagger \,\hat{f} .}

Um die Normalordnung für Fermionen zu definieren muss die Anzahl der Vertauschungen beachtet werden, da für jede Vertauschung ein Minuszeichen auftritt.

Beispiele

1. Zu Beginn nochmals der einfachste Fall:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {:}\hat{f}^\dagger \hat{f}{:} = \hat{f}^\dagger \hat{f} }

Es liegt bereits eine Normalordnung vor. Umgekehrt wird jedoch aufgrund der Vertauschung beider Operatoren ein Minuszeichen eingeführt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {:} \hat{f} \hat{f}^\dagger {:} = -\hat{f}^\dagger \hat{f} }

Dies kann zusammen mit den Antikommutatorrelationen benutzt werden um

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{f} \hat{f}^\dagger = 1 - \hat{f}^\dagger \hat{f} = 1 + {:}\hat{f} \hat{f}^\dagger{:}}

oder

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{f} \hat{f}^\dagger - {:} \hat{f} \hat{f}^\dagger {:} = 1}

zu zeigen. Auch diese Gleichung wird im Wick-Theorem benutzt, um die Kontraktion einzuführen.

2. Die Normalordnung jedes komplizierten Falls ergibt Null, da mindestens ein Erzeugungs- oder Vernichtungsoperator zweimal auftritt. Beispielsweise:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {:} \hat{f}\hat{f}^\dagger \hat{f} \hat{f}^\dagger {:} = -\hat{f}^\dagger \hat{f}^\dagger \hat{f}\hat{f} = 0 }

Mehrere Fermionen

Bei der Verwendung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} verschiedenen Fermionen gibt es Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 N} Operatoren:

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{f}_i^\dagger} : der Erzeugungsoperator des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} -ten Fermions.
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{f}_i} : der Vernichtungsoperator des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} -ten Fermions.

Wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i = 1,\ldots,N} .

Diese erfüllen die Kommutatorrelationen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[\hat{f}_i^\dagger, \hat{f}_j^\dagger \right]_+ = 0 }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[\hat{f}_i, \hat{f}_j \right]_+ = 0 }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[\hat{f}_i, \hat{f}_j^\dagger \right]_+ = \delta_{ij} }

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i,j = 1,\ldots,N} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta_{ij}} das Kronecker-Delta bezeichnet.

Dies kann umgeschrieben werden zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{f}_i^\dagger \hat{f}_j^\dagger = -\hat{f}_j^\dagger \hat{f}_i^\dagger }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{f}_i \hat{f}_j = -\hat{f}_j \hat{f}_i }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{f}_i \hat{f}_j^\dagger = \delta_{ij} - \hat{f}_j^\dagger \hat{f}_i .}

Beispiele

1. Für zwei verschiedene Fermionen (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N=2} ) ergibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {:} \hat{f}_1^\dagger \hat{f}_2 {:} = \hat{f}_1^\dagger \hat{f}_2 }

Da der Ausdruck bereits in Normalordnung vorliegt, ändert sich nichts.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {:} \hat{f}_2 \hat{f}_1^\dagger{:} = -\hat{f}_1^\dagger \hat{f}_2 }

Hier muss ein Minuszeichen eingefügt werden, da die Ordnung zweier Operatoren vertauscht wurde.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {:} \hat{f}_2 \hat{f}_1^\dagger \hat{f}^\dagger_2 {:} = \hat{f}_1^\dagger \hat{f}_2^\dagger \hat{f}_2 = -\hat{f}_2^\dagger \hat{f}_1^\dagger \hat{f}_2 }

Anders als im bosonischen Fall spielt hier die Reihenfolge, in welcher die Operatoren aufgeschrieben werden, eine Rolle.

2. Bei drei verschiedenen Fermionen (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N=3} ) ergibt sich:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {:} \hat{f}_1^\dagger \hat{f}_2 \hat{f}_3 {:} = \hat{f}_1^\dagger \hat{f}_2 \hat{f}_3 = -\hat{f}_1^\dagger \hat{f}_3 \hat{f}_2}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {:} \hat{f}_2 \hat{f}_1^\dagger \hat{f}_3 {:} = -\hat{f}_1^\dagger \hat{f}_2 \hat{f}_3 = \hat{f}_1^\dagger \hat{f}_3 \hat{f}_2}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {:} \hat{f}_3 \hat{f}_2 \hat{f}_1^\dagger {:} = \hat{f}_1^\dagger \hat{f}_3 \hat{f}_2 = -\hat{f}_1^\dagger \hat{f}_2 \hat{f}_3 }

Literatur

• F. Mandl, G. Shaw, Quantum Field Theory, John Wiley & Sons, 1984.
• Wolfgang Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 7, Springer Berlin Heidelberg, 2009