Nullteiler

In der abstrakten Algebra ist ein Nullteiler eines Ringes $R$ ein Element $a$, für das es ein vom Nullelement $0$ verschiedenes Element $b$ gibt, so dass $ab=0$. Diesem letzteren Produkt wird gelegentlich der Name Nullprodukt gegeben.

Nach dieser Definition ist das Nullelement $0$ selbst natürlich ein (trivialer) Nullteiler. Aber da es als neutrales Element der Addition gleichzeitig absorbierendes Element der Multiplikation ist, wird ein Nullprodukt, das einen Faktor $0$ enthält, als trivial angesehen. Und die trivialen Nullprodukte werden bei der Definition des Begriffs Nullteiler ausgeklammert.

Definition

Ist $R$ ein Ring und $a\in R$, dann unterscheidet man zwischen:

• Linksnullteiler: Es gibt ein Element $b\in R\setminus \{0\}$, so dass $ab=0$.
• Rechtsnullteiler: Es gibt ein Element $b\in R\setminus \{0\}$, so dass $ba=0$.
• (zweiseitiger) Nullteiler: $a$ ist sowohl Links- als auch Rechtsnullteiler.
• Linksnichtnullteiler: $a$ ist kein Linksnullteiler.
• Rechtsnichtnullteiler: $a$ ist kein Rechtsnullteiler.
• (zweiseitiger) Nichtnullteiler: $a$ ist weder Links- noch Rechtsnullteiler, oft auch reguläres Element genannt.

In nichtkommutativen Ringen müssen Linksnullteiler keine Rechtsnullteiler sein und umgekehrt, bei kommutativen Ringen hingegen fallen die zwei mal drei Begriffe schlicht zu Nullteiler bzw. Nichtnullteiler zusammen.

Man nennt von $0$ verschiedene Links-, Rechts- oder zweiseitige Nullteiler echt (dann sind beide Faktoren $\neq 0$). Ein Ring ohne echte Links- und ohne echte Rechtsnullteiler heißt nullteilerfrei.

Ein nullteilerfreier, kommutativer Ring mit Einselement $1\neq 0$ heißt Integritätsring.

Für nullteilerfreie Ringe $R$ gilt der Satz vom Nullprodukt:

Ist $ab=0$ für zwei Elemente $a,b\in R$, dann ist $a=0$ oder $b=0.$

Beispiele

• Der Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen ist nullteilerfrei, der Ring $\mathbb {Z} ^{2}$ (mit komponentenweiser Addition und Multiplikation) enthält zum Beispiel die Nullteiler $(0,1)$ und $(1,0)$, denn $(0,1)\cdot (1,0)=(0,0)$ und $(1,0)\cdot (0,1)=(0,0)$.

• Jeder Körper ist nullteilerfrei, denn jedes von $0$ verschiedene Element ist eine Einheit (siehe unten).

• Der Restklassenring $\mathbb {Z} /6\mathbb {Z}$ hat die Nullteiler 2, 3 und 4, denn es ist $2\cdot 3\equiv 4\cdot 3\equiv 0\mod 6$.

• Allgemein ist für eine natürliche Zahl $n>1$ der Restklassenring $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ genau dann nullteilerfrei (sogar ein Körper), wenn $n$ eine Primzahl ist.

• Der Ring der reellen 2×2-Matrizen enthält beispielsweise die Nullteiler

${\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}\quad {\text{und}}\quad {\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}$

denn

${\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.$

• Allgemein sind in einem Matrizenring über einem Körper oder Integritätsring genau die Matrizen Nullteiler, deren Determinante $0$ ist. Hier gibt es trotz fehlender Kommutativität keinen Unterschied zwischen Links- und Rechtsnullteilern.

Eigenschaften

• In Ringen ist ein Element ungleich Null genau dann Links-, Rechts- oder zweiseitiger Nichtnullteiler, wenn es links-, rechts- bzw. zweiseitig kürzbar ist.

• Echte Nullteiler sind keine Einheiten, denn wäre $a\neq 0$ Nullteiler und invertierbar, das heißt $ab=0$ für ein geeignetes $b\neq 0$, dann wäre $0=a^{-1}\cdot 0=a^{-1}ab=b$.

• In einem nichtkommutativen Ring mit Einselement ($1\cdot a=a\cdot 1=a$ für alle $a$) gilt diese Aussage nur so:

Ein Linksnullteiler hat kein Linksinverses, jedoch kann ein Linksnullteiler ein Rechtsinverses haben. Analoges gilt für Rechtsnullteiler. Ein beidseitiger Nullteiler hat demnach kein Inverses.

• Ist $a$ ein Linksnullteiler, dann ist offensichtlich für jedes $b$ das Produkt $ba$ ebenfalls ein Linksnullteiler oder gleich null. Das Produkt $ab$ muss hingegen kein Links- oder Rechtsnullteiler sein (siehe dazu das Beispiel des Matrixrings $R$ im Artikel Einheit (Mathematik), dessen Elemente $A$ und $B$ einseitige Nullteiler sind, die jeweils einseitige Inverse voneinander sind, da $AB=E$ die Einheitsmatrix ist).

Siehe auch

• Topologischer Nullteiler