In der Mathematik werden Ober- und Unterlösungen (engl.: super solutions und sub solutions) zur qualitativen Analyse von (nicht explizit lösbaren) Differentialgleichungen verwendet.
Definition
Eine Oberlösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung ist eine differenzierbare Abbildung mit
für alle .
Eine Unterlösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung ist eine differenzierbare Abbildung mit
für alle .
Beispiel
Für die Differentialgleichung
ist eine Oberlösung wegen
und eine Unterlösung wegen
- .
Weiter ist eine Oberlösung wegen
und eine Unterlösung wegen
- .
Vergleichssatz
Der Vergleichssatz für Ober- und Unterlösungen besagt:
a) Wenn eine Oberlösung der Differentialgleichung mit für ein ist, dann gilt für jede Lösung des Anfangswertproblems die Ungleichung
für alle .
b) Wenn eine Unterlösung der Differentialgleichung mit für ein ist, dann gilt für jede Lösung des Anfangswertproblems die Ungleichung
für alle .
Beweis: Setze für a) bzw. für b). Dann ist und in Punkten mit muss sein. Der Graph von kann die -Achse also nur von unten nach oben kreuzen, was aber wegen nicht möglich ist. Also gilt für alle .
Literatur
- G. Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, American Mathematical Society, Graduate Studies in Mathematics Bd. 140, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0