Anfangswertproblem

Als Anfangswertproblem (abgekürzt AWP), manchmal auch Anfangswertaufgabe (abgekürzt AWA) oder Cauchy-Problem genannt, bezeichnet man in der Analysis eine wichtige Klasse von Differentialgleichungsproblemen. Die Lösung eines Anfangswertproblems ist die Lösung der Differentialgleichung unter zusätzlicher Berücksichtigung eines vorgegebenen Anfangswertes.

In diesem Artikel wird das Anfangswertproblem zunächst für gewöhnliche Differentialgleichungen und später auch für partielle Differentialgleichungen erklärt.

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Anfangswertproblem 1. Ordnung

Ein Anfangswertproblem erster Ordnung ist ein Gleichungssystem, das aus einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y'(t) = f(t, y(t))}

und einer zusätzlichen Anfangsbedingung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y(t_0) = y_0}

besteht, mit

• dem Anfangswert $y_{0}$ und
• einem Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_0\in\mathbb{R}} .

Eine konkrete Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} ist eine Lösung des Anfangswertproblems, wenn sie beide Gleichungen erfüllt.

Gesucht ist also eine Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} , die die Bedingungen der Differentialgleichung und des Anfangswertes erfüllt. Ist die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} stetig, so ist dies nach dem Hauptsatz der Integralrechnung genau dann der Fall, wenn

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y(t) = y_0 + \int^{t}_{t_0} f(s,y(s))\,ds}

für alle $t$ im Definitionsintervall gilt.

Anfangswertproblem k-ter Ordnung

Gegeben seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k\in\N} und eine Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon D\rightarrow\R^n} . Ihr Definitionsbereich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} sei hierbei eine Teilmenge von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I \times \R^{n\times k}} , worin Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I \subset \mathbb{R}} ein Intervall bezeichnet, welches Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_0} umfasst. Dann heißt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{cases} y^{(k)} & = f(t, y(t), y'(t), \dotsc, y^{(k - 1)}(t))\\ y^{(i)}(t_0) & = y_i \qquad \mathrm{mit} \; i = 0, \dotsc, k - 1 \end{cases}}

ein Anfangswertproblem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} -ter Ordnung. Jedes Anfangswertproblem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} -ter Ordnung lässt sich umschreiben in ein Anfangswertproblem 1. Ordnung.

Ein spezielles Anfangswertproblem ist das Riemann-Problem, bei dem die Anfangsdaten konstant sind bis auf eine Unstetigkeitsstelle.

Anfangswertprobleme treten z. B. in den Naturwissenschaften auf, wenn ein mathematisches Modell für natürliche Prozesse gesucht wird.

Lösbarkeit

Wichtige Sätze, die die Lösbarkeit von Anfangswertproblemen für gewöhnliche Differentialgleichungen betreffen, sind der (lokale) Existenzsatz von Peano und der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf. Ein Hilfsmittel ist die grönwallsche Ungleichung.

Beispiel

Das Anfangswertproblem

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle y'(t)=2\cdot \operatorname {sgn}(y(t))\cdot {\sqrt {|y(t)|}}\ ,\ y(0)=0\ ,}

welches zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(t,x) := 2 \cdot \sgn(x)\cdot\sqrt{|x|}}

korrespondiert, hat unendlich viele Lösungen, nämlich neben der trivialen Lösung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y(t) \equiv 0}

auch noch für jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c \geq 0} die Lösungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y(t) = \left\{\begin{array}{ll}0\ ,&\text{falls}\ t < c\ ,\\(t-c)^2\ ,&\text{falls}\ t \geq c\ ,\\\end{array}\right.}

sowie

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y(t) = \left\{\begin{array}{ll}0\ ,&\text{falls}\ t < c\ ,\\-(t-c)^2\ ,&\text{falls}\ t \geq c\ .\\\end{array}\right.}

Damit Anfangswertprobleme eindeutige Lösungen besitzen, sind Zusatzeigenschaften (an $f$) nachzuweisen. Dies kann beispielsweise über den Satz von Picard-Lindelöf geschehen, dessen Voraussetzungen in diesem Beispiel jedoch nicht erfüllt werden.

Numerische Lösungsmethoden

Zur numerischen Lösung von Anfangswertproblemen werden Einschritt- oder Mehrschrittverfahren eingesetzt. Dabei wird die Differentialgleichung mittels einer Diskretisierung approximiert.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \to} Siehe Berechnungsbeispiel Anfangswertproblem in Differenzengleichung (Differenzenverfahren)

Partielle Differentialgleichungen

Verallgemeinert man das Cauchy-Problem auf mehrere Veränderliche, etwa Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} Veränderliche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1,\dotsc, x_n} , so erhält man partielle Differentialgleichungen. Im Folgenden stehe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha \in \N_0^n} für einen Multiindex der Länge $n$. Beachte, dass es genau Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tbinom{n+k-1}{k}} Multiindizes mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\alpha| := \alpha_1+\dotsb +\alpha_n \le k} gibt. Es sei weiter eine Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n+ \tbinom{n+k-1}{k}} Variablen gegeben. Beim allgemeinen Cauchy-Problem sucht man nach Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u} , die von $n$ Variablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1,\dotsc, x_n} abhängen und die Gleichung

(1) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(x,(\partial^\alpha u(x))_{|\alpha|\le k)}) \,=\,0 }

erfüllen. Beachte, dass die Stelligkeit von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} gerade so gewählt wurde, dass man $x=(x_{1},\dotsc ,x_{n})$ und alle partiellen Ableitungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial^\alpha u(x)} einsetzen kann. Darüber hinaus fordert man, dass die gesuchten Funktionen den im Folgenden beschriebenen sogenannten Anfangs- bzw. Randbedingungen genügen. Zu deren Formulierung sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} eine Hyperfläche der Klasse C^k mit Normalenfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nu} . Mit $\partial _{\nu }^{j}$ seien die Normalenableitungen bezeichnet. Sind dann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_0,\dotsc, \varphi_{k-1}} vorgegebene auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} definierte Funktionen, so fordert man beim allgemeinen Cauchy-Problem, dass die Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u} zusätzlich die Bedingungen

(2) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u=\varphi_0,\, \partial_\nu u = \varphi_1,\,\dotsc,\,\partial_\nu^{k-1} u = \varphi_{k-1}} auf $S$

erfüllen. Die Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_j} heißen die Cauchy-Daten des Problems, jede Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u} , die beide Bedingungen (1) und (2) erfüllt, heißt eine Lösung des Cauchy-Problems.

Durch eine geeignete Koordinatentransformation kann man sich auf den Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S=\{x=(x_1,\dotsc, x_n);\, x_n=0\}} zurückziehen. Dann spielt die letzte Variable eine Sonderrolle, denn die Anfangsbedingungen sind dort gegeben, wo diese Variable 0 ist. Da diese Variable in vielen Anwendungen als Zeit interpretiert wird, benennt man sie gern in $t$ (lateinisch tempus = Zeit) um, die Anfangsbedingungen beschreiben dann die Verhältnisse zum Zeitpunkt $t=0$. Die Variablen sind also Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n-1},t} . Da die betrachtete Hyperebene durch die Bedingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=0} gegeben ist, wird die Normalenableitung einfach zur Ableitung nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} . Schreibt man abkürzend Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=(x_1,\dotsc, x_{n-1})} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha = (\alpha_1,\dotsc, \alpha_{n-1})} , so lautet das Cauchy-Problem nun

(1') Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(x,t,(\partial_x^\alpha\partial_t^j u(x,t))_{|\alpha|+j\le k)}) \,=\,0 }

(2') $u(x,0)=\varphi _{0}(x),\,\partial _{t}u(x,0)=\varphi _{1}(x),\,\dotsc ,\,\partial _{t}^{k-1}u(x,0)=\varphi _{k-1}(x)$.

Ein typisches Beispiel ist etwa die dreidimensionale Wellengleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial_t^2 u - c^2\cdot\Delta u = f}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u(x,0) = \varphi_0(x),\, \partial_t u(x,0) = \varphi_1(x)} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} eine Konstante, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} eine vorgegebene Funktion und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta = \partial_{x_1}^2+\partial_{x_2}^2+ \partial_{x_3}^2} der Laplace-Operator seien.

Ist $u$ eine Lösung, was gleichzeitig ausreichende Differenzierbarkeit implizieren soll, so sind alle Ableitungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial_x^\alpha\partial_t^j u(x,0)} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\alpha|+j\le k, j<k} bereits durch die Cauchy-Daten vorgegeben, denn es ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial_x^\alpha\partial_t^j u(x,0) = \partial_x^\alpha \varphi_j} . Lediglich die Ableitung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial_t^k u} ist nicht durch (2') festgelegt, hier kann also nur (1') eine Bedingung stellen. Damit (1') tatsächlich eine nicht-triviale Bedingung und damit das Cauchy-Problem nicht von vornherein schlecht gestellt ist, wird man fordern, dass man die Gleichung (1') nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial_t^k u} auflösen kann. Das Cauchy-Problem hat dann die Form

(1") Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial_t^k u(x,t) = G(x,t,(\partial_x^\alpha\partial_t^j u(x,t))_{|\alpha|+j\le k, j<k}) }

(2") Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u(x,0) = \varphi_0(x),\, \partial_t u(x,0) = \varphi_1(x),\,\dotsc,\,\partial_t^{k-1} u(x,0) = \varphi_{k-1}(x)} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} eine geeignete Funktion der Stelligkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n-1 + \tbinom{n+k-1}{k}} sei. In der zuletzt gegebenen Formulierung haben alle auftretenden Ableitungen eine Ordnung $\leq k$, und die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} -te Ableitung nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} tritt tatsächlich auf, denn dies ist gerade die linke Seite von (1") und sie kommt nicht auf der rechten Seite von (1") vor. Man nennt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} daher auch die Ordnung des Cauchy-Problems. Das obige Beispiel der dreidimensionalen Wellengleichung ist offenbar leicht in diese Form zu bringen,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial_t^2 u = f + c^2\cdot\Delta u}

$fu(x,0)=\varphi _{0}(x),\,\partial _{t}u(x,0)=\varphi _{1}(x)$

es liegt daher ein Cauchy-Problem der Ordnung 2 vor.

Sind alle Cauchy-Daten analytisch, so sichert der Satz von Cauchy-Kowalewskaja eindeutige Lösungen des Cauchy-Problems.

Bestimmung der Integrationskonstante

In der Schulmathematik wird die Bestimmung der Integrationskonstante eines unbestimmten Integrals für einen gegebenen Punkt als Anfangswertproblem bezeichnet.

Beispiel

Gesucht ist die Stammfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_C} der gebrochenrationalen Funktion $f$ gegeben durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2-2x+1}} ,

die durch den Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(4|5)} geht.

Zunächst faktorisieren wir den Nenner:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = \frac{1}{(x-1)^2} = (x-1)^{-2}} .

Nun können wir substituieren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int u^{-2} \cdot 1\,\mathrm du = -u^{-1} = -\frac{1}{x-1} + C} .

Als nächstes müssen wir die x-Koordinate des Punktes einsetzen und den Term mit dem y-Wert gleichsetzen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\frac{1}{4-1} + C = 5 \quad \Leftrightarrow \quad C = \frac{16}{3}} .

Die gesuchte Stammfunktion lautet demnach:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_C(x) = -\frac{1}{x-1} + \frac{16}{3}} .

Abstraktes Cauchy-Problem

Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ein Banachraum und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\colon D(A) \subset X \rightarrow X} ein linearer oder nichtlinearer Operator. Die Fragestellung, ob bei gegebenem $T>0$, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_0 \in X} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon (0, T) \rightarrow X} eine differenzierbare Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u\colon [0,T)\rightarrow X} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u(t) \in D(A)} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T>t>0} existiert, die das Anfangswertproblem

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{matrix} u'(t)+A(u(t))&=&f(t), & \quad T>t>0\\ u(0)&=&u_0& \end{matrix}}

erfüllt, bezeichnet man als abstraktes Cauchy-Problem. Zu ihrer Lösbarkeit benötigt man die Theorie der stark stetigen Halbgruppen bzw. der analytischen Halbgruppen. Zu den verschiedenen Anfangsbedingungen und Operatoren gibt es verschiedene Arten des Lösungsbegriffes, im linearen distributionelle Lösungen, im nichtlinearen die integrale Lösung. Mit klassisch differenzierbaren, beziehungsweise fast überall differenzierbaren Lösungen beschäftigt sich die nachgelagerte Regularitätstheorie.

Literatur

• Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eine Einführung. 7. Auflage. Springer, 2000, ISBN 3-540-67642-2.
• Isao Miyadera, Choong Yun Cho: Nonlinear Semigroups. American Mathemat. Soc., Providence, RI 1992, ISBN 0-8218-4565-9.
• Amnon Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, New York 1983, ISBN 0-387-90845-5.
• Gerald B. Folland: Introduction to Partial Differential Equations. Princeton University Press, 1976, ISBN 0-691-08177-8. (insbesondere Kapitel 1.C. für das allgemeine Cauchy-Problem).
• Martin Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen. Band 1: Anfangswertprobleme und lineare Randwertprobleme. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin und Boston, 2017, ISBN 978-3-11-050036-3.
• Martin Hermann und Masoud Saravi: A First Course in Ordinary Differential Equations. Analytical and Numerical Methods. Springer India, New Delhi et al., 2014. ISBN 978-81-322-1834-0.

Weblinks

• Gert Lube: Anfangswertaufgaben. (Skript, Universität Göttingen)
• Clemens Brand: Illustrationen zu einem einfachen Anfangswertproblem. (Skript, Uni Leoben)
• taramath Online-Tool zur Lösung von Anfangswertproblemen.