Ortsgröße

Die Ortsgröße kann durch verschiedene Charakteristika bestimmt werden (Fläche, Anzahl Gebäude etc.). In der Regel jedoch wird nach Einwohnerzahl unterschieden und in Deutschland nach Städten und Gemeinden differenziert.

Mathematische Modellierung

Für die mathematische Modellierung der Ortsgröße sei die Einwohnerzahl des k-ten Ortes als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N_k } bezeichnet. Der Anteil der Einwohnerzahl des Ortes an der Gesamteinwohnerzahl eines Landes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N } ist gegeben durch:

${\begin{aligned}m_{k}&={\frac {N_{k}}{N}}\end{aligned}}$

Die Größe eines Ortes hängt davon ab, wie stark der Anteil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_k } im Laufe der Zeit wächst. Das Wachstum eines Ortes wird im Wesentlichen durch zwei Prozesse bestimmt. Einerseits verändert sich die Ortsgröße durch die Geburt und den Tod von Einwohnern. Andererseits kann sie durch Ereignisse, wie den Zuzug und Wegzug von Einwohnern variieren. Betrachtet man diese Ereignisse als zufällig, so ist die Anzahl von Geburts- oder Todesereignissen pro Zeiteinheit umso höher, je größer ein Ort ist. Gleichfalls gilt, dass in erster Näherung auch die Anzahl von Zu- und die Abwanderungsereignissen eines Ortes proportional zu dessen Größe ist (Die Entstehung eines neuen Ortes wird als seltenes Ereignis betrachtet und hier nicht explizit berücksichtigt). Das Wachstum der Einwohnerzahl des k-ten Ortes kann daher als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \frac{dN_k}{dt} &= \alpha_k N_k \end{align}}

geschrieben werden, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha _k} die Wachstumsrate der Einwohnerzahl des k-ten Ortes ist. Die gleichen Prozesse, die zum Wachstum eines Ortes führen, bestimmen auch das Wachstum der Gesamteinwohnerzahl eines Landes. Die Gesamteinwohnerzahl wächst mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \frac{dN}{dt} &= \alpha N \end{align}}

wobei $\alpha$ die mittlere Wachstumsrate der Einwohnerzahl eines Landes ist. Sie wird durch die anteilige Summe über alle Orte bestimmt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \alpha &= \Sigma \alpha_k m_k \end{align}}

Berechnet man nun die zeitliche Ableitung des Anteils eines Ortes an der Gesamteinwohnerzahl (erste Gleichung), so ergibt sich:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \frac{dm_k}{dt} &= \frac{1}{N} \frac{dN_k}{dt}-\frac{N_k}{N^2}\frac{dN}{dt} \end{align}}

Durch Einsetzen der obigen Gleichungen für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{dN_k}{dt}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{dN}{dt}} erhält man:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \frac{dm_k}{dt} &= (\alpha _k - \alpha) m_k \end{align}}

Dies ist eine sogenannte Replikatorgleichung. Sie bestimmt die zeitliche Entwicklung der Ortsgröße und besagt, dass sich Orte in Konkurrenz um Einwohner befinden. Die Wachstumsrate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha_k } (sogenannte Fitness) bestimmt den Wachstumserfolg. Eine hohe Fitness ist generell daran gekoppelt, dass mehr Einwohner geboren werden als sterben und mehr Menschen in einen Ort ziehen als davon weg.

Die Verteilung der Ortsgröße

Die Wachstumsrate eines Ortes hängt von vielen Faktoren ab, die sich zeitlich ändern können. Um eine hohe Wachstumsrate zu erzielen, kann ein Ort beispielsweise dafür sorgen, dass gute Bedingungen für das Aufziehen von Kindern geschaffen werden. Wesentlich für den Zuzug (Wegzug) von Einwohnern sind wirtschaftliche, kulturelle und soziale Faktoren, dessen zeitliche Veränderungen zu Fluktuationen der Wachstumsrate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha_k } führen. Die Replikatorgleichung besagt jedoch, dass Nachteile im Wachstum eines Ortes Vorteile für andere Orte bedeuten können. Zwar kann die Größe eines Ortes im Laufe der Zeit variieren, die Verteilung der Ortsgröße Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(m) } bleibt jedoch relativ stabil. Um diese zu ermitteln, sei die Differenz aus den Replikatorgleichungen der Stadt mit der höchsten mittleren Wachstumsrate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha_0 } und dem Anteil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_0} , und einem beliebigen Ort mit dem Index Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} gebildet:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \ln(m_{k})}{\mathrm {d} t}}-{\frac {\mathrm {d} \ln(m_{0})}{\mathrm {d} t}}&=(\alpha _{k}-\alpha _{0})=-\Delta \alpha _{k}\end{aligned}}$

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta \alpha_k >0 } . Um die zeitlichen Änderungen der Wachstumsraten zu berücksichtigen kann man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta \alpha_k } als eine fluktuierende Größe der Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta \alpha _k = \Delta \alpha - \chi_k }

schreiben. In dieser Gleichung ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta \alpha } die mittlere Differenz der Wachstumsraten der Orte in Bezug auf die größte Wachstumsrate über den betrachteten Zeitraum und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi_k} eine im Mittel verschwindende fluktuierende Größe, die durch zufällige voneinander unabhängige Ereignisse bestimmt ist. Damit lässt sich die obige Gleichung umformen zu:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {m}{m_{0}}}\right)&=(-\Delta \alpha +\chi ){\frac {m}{m_{0}}}\end{aligned}}$

wobei zur Vereinfachung der Schreibweise der Index weggelassen wird. Es sei berücksichtigt, dass die Differenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta \alpha } in der Regel sehr klein ist, also $\Delta \alpha \sim \epsilon$ mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon \ll 1} . Das charakteristische Wachstum eines Ortes hängt damit wesentlich von der Größe ab. Für kleine Orte mit einem Anteil ${\tfrac {m}{m_{0}}}<\epsilon$ kann nämlich der erste Term in der obigen Gleichung vernachlässigt werden, denn er ist sehr klein von der Größenordnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon^2 } . Die Replikatorgleichung reduziert sich für kleine Orte auf

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \frac {d}{dt} \left(\frac {m}{m_0}\right) &= \chi \frac {m}{m_0} \end{align}}

Dies ist eine sogenannte Langevin-Gleichung, die ein multiplikatives Wachstum der Einwohnerzahl beschreibt (Gibrat’s Gesetz). Unter der Annahme, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi } durch weißes Rauschen beschrieben werden kann, ist die Größenverteilung kleiner Orte aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes durch eine Lognormalverteilung gegeben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(m)= \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma \frac {m}{m_0} }\,\exp\Big( -\frac{(\ln(\frac {m}{m_0})- \mu )^2}{2\sigma^2}\Big) & m > 0 \\ 0 & m\leq0 \end{cases}}

mit den freien Parametern $\mu$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} . Für große Orte muss man jedoch den Term Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta \alpha } mitberücksichtigen. Um die daraus folgende Veränderung der Größenverteilung zu bestimmen, führt man neue Variable ein. Es sei:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} x = \ln\left(\frac{m}{m_0}\right) \end{align}}

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \frac{\mathrm dV}{\mathrm dx} &= \Delta \alpha \end{align}}

Durch Einsetzen erhält man:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=-{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} x}}+\chi \end{aligned}}$

Diese Form einer Langevingleichung ist aus der Diffusion Brownscher Teilchen bekannt. Sie beschreibt eine fluktuierende Größe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} in einem Potential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V(x)} . Die Verteilungsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)} wird über einen längeren Zeitraum durch eine Maxwell-Boltzmann-Verteilung beschrieben:

${\begin{aligned}f(x)\sim \exp \left(-{\frac {V(x)}{D}}\right)\end{aligned}}$

Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} die Rauschamplitude der stochastischen Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi} und

${\begin{aligned}V(x)=\int \Delta \alpha \mathrm {d} x.\end{aligned}}$

Durch Einsetzen der ursprünglichen Variablen erhält man:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} f(x) \mathrm dx = f(m) dm\sim \exp\left(-\frac{1}{D } \int \Delta \alpha d \ln\left(\frac{\mathrm m}{m_0}\right)\right) d \ln\left(\frac{\mathrm m}{m_0}\right) \end{align}}

Die Integration liefert schließlich eine Pareto-Verteilung (power-law-Verteilung) der Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} f(m) \sim \frac {1}{\frac {m}{m_0}^{1+a}} \end{align}}

mit dem Pareto-Exponenten $a={\tfrac {\Delta \alpha }{D}}$. Die Verteilung großer Orte mit $m>\epsilon$ wird also nach genügend langer Zeit durch ein Potenzgesetz beschrieben. Für große Städte ist bekannt, dass sie in eine Zipf-Verteilung mit $a=1$ übergeht.

Die Verteilung der Ortsgröße ist daher eine Lognormalverteilung für kleine Orte und einer Pareto-Verteilung für große Orte (Städte), wie sie auch in empirischen Untersuchungen gefunden wird. Die Theorie besagt, dass große Orte einen Wachstumsvorteil allein durch ihre Größe haben. Dieser sogenannte Skaleneffekt kommt zustande, weil große Orte mehr vom Wachstum der Einwohnerzahl eines Landes profitieren können als kleine Orte. Kleine Orte laufen dagegen Gefahr, bereits durch minimale Fluktuationen (aufgrund geringer Geburtenzahlen und schlechter wirtschaftlicher Bedingungen) komplett zu verschwinden.

Orte nach Größe

Siehe auch die Liste der Groß- und Mittelstädte in Deutschland.

Literatur

• X. Gabaix, Y. Ioannides: The evolution of city size distributions in: Handbook of Regional and Urban Economics, V. Henderson and J. Thisse, Eds., vol. 4, North-Holland, Amsterdam 2004.
• Empirische Verteilung der Ortsgrößen. J. Eeckhout, „Gibrat’s law for (all) cities“ The American Economic Review, vol. 94, no. 5, S. 1429–1451, 2004. Online
• Joachim Kaldasch: Evolutionary Model of the City Size Distribution, ISRN Economics, Article ID 498125, 2014 Online.