Ortsoperator

Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.

Der physikalische Zustand $\Psi$ eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch gegeben durch den zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor $|\Psi \rangle$ beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt.

Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen ${\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},{\hat {x}}_{3})$, so dass

$E({\hat {x}}_{j})={\langle {\hat {x}}_{j}\,\Psi ,\Psi \rangle }_{\mathrm {H} }\ ,\quad j=1,2,3$

der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand $\Psi$ ist.

Definition und Eigenschaften

• Die drei Ortsoperatoren sind selbstadjungierte Operatoren ${\hat {x}}_{j}$, die mit den ebenfalls selbstadjungierten Impulsoperatoren ${\hat {p}}_{k}$ die folgenden kanonischen Vertauschungsrelationen erfüllen:

$[{\hat {x}}_{j},{\hat {p}}_{k}]=\mathrm {i} \,\hbar \,\delta _{jk}\ ,\quad [{\hat {x}}_{j},{\hat {x}}_{k}]=0=[{\hat {p}}_{j},{\hat {p}}_{k}]\ ,\quad j,k\in \{1,2,3\}$

• Daraus folgt, dass die drei Ortskoordinaten gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum $\mathbb {R} ^{3}$ besteht. Die möglichen Orte sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.

Ortsdarstellung

Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum $H=L^{2}(\mathbb {R} ^{3};\mathbb {C} )$ ist der Raum der quadratintegrierbaren komplexen Funktionen des Ortsraums $\mathbb {R} ^{3}$, jeder Zustand $\Psi$ ist durch eine Ortswellenfunktion $\psi (\mathbf {x} )$ gegeben.

Die Ortsoperatoren ${\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},{\hat {x}}_{3})$ sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, d. h. der Ortsoperator ${\hat {x}}_{j}$ wirkt auf Ortswellenfunktionen $\psi (\mathbf {x} )$ durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion $x_{j}$

$({\hat {x}}_{j}\,\psi )(\mathbf {x} )=x_{j}\cdot \psi (\mathbf {x} )$

Dieser Operator ${\hat {x}}_{j}$ ist als Multiplikationsoperator ein dicht definierter Operator und abgeschlossen. Er ist auf dem Unterraum $D=\{\psi \in H\,|\,x\cdot \psi \in H\}$ definiert, der in H dicht liegt.

Der Erwartungswert ist

$E({\hat {x}}_{j})={\langle {\hat {x}}_{j}\,\Psi ,\Psi \rangle }_{L^{2}}=\int _{\mathbb {R} ^{3}}x_{j}\,\psi (\mathbf {x} )\,{\overline {\psi (\mathbf {x} )}}\,\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{3}}x_{j}\,|\psi (\mathbf {x} )|^{2}\mathrm {d} x$

Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator:

${\bigl (}{\hat {p}}_{k}\psi {\bigr )}(\mathbf {x} )=-\mathrm {i} \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\psi (\mathbf {x} )$

Eigenfunktionen

Die Eigenfunktionen des Ortsoperators müssen die Eigenwertgleichung

$({\hat {x}}\,\psi _{\mathbf {x_{0}} })(\mathbf {x} )=\mathbf {x_{0}} \cdot \psi _{\mathbf {x_{0}} }(\mathbf {x} )$

erfüllen, wobei $\psi _{\mathbf {x_{0}} }(\mathbf {x} )$ die Eigenfunktion des Ortsoperators zum Eigenwert $\mathbf {x_{0}}$ darstellt.

Die Eigenfunktionen $\psi (\mathbf {x_{0}} )$ zum Ortsoperator entsprechen Delta-Distributionen: ${\hat {\mathbf {x} }}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )=\mathbf {x_{0}} \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )$

mit der Identität: $f(x)\delta (x-x_{0})=f(x_{0})\delta (x-x_{0})$

Impulsdarstellung

In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen ${\tilde {\psi }}(\mathbf {p} )$

$({\hat {p}}_{k}\,{\tilde {\psi }})(\mathbf {p} )=p_{k}\cdot {\tilde {\psi }}(\mathbf {p} )$

und der Ortsoperator als Differentialoperator:

$({\hat {x}}_{j}\,{\tilde {\psi }})(\mathbf {p} )=\mathrm {i} \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial p_{j}}}{\tilde {\psi }}(\mathbf {p} )$

Literatur

• Jochen Pade: Quantenmechanik zu Fuß 1. Springer, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-25226-6, doi:10.1007/978-3-642-25227-3.