Parabolische Isometrie

In der Mathematik sind parabolische Isometrien in der hyperbolischen Geometrie und allgemeiner in der Theorie der CAT(0)-Räume von Bedeutung.

Definition

Es sei $X$ ein vollständiger CAT(0)-Raum, zum Beispiel ein hyperbolischer Raum. Für eine Isometrie $f\colon X\to X$ sei $d_{f}\colon X\to \mathbb {R} _{\geq 0}$ definiert durch

$d_{f}(x)=d(f(x),x)$.

Die Isometrie ist parabolisch, wenn es kein $x_{0}\in X$ mit

$d_{f}(x_{0})=\inf \left\{d_{f}(x)\colon x\in X\right\}$

gibt, wenn also das Infimum nicht angenommen wird.

Fixpunkt im Unendlichen

Eine parabolische Isometrie hat einen Fixpunkt im Unendlichen. Sie lässt alle Horosphären um diesen Punkt invariant.

Beispiel

Sei $X={\mathbf {H} }^{2}=\left\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} (z)>0\right\}$ das Halbebenenmodell der hyperbolischen Ebene und $f\colon X\to X$ eine durch

$f(z)=z+a$

mit $a\in \mathbb {R}$ gegebene Abbildung. Aus der Definition der hyperbolischen Metrik folgt, dass $f$ eine Isometrie ist und $d_{f}(z)={\frac {a}{\operatorname {Im} (z)}}$ gilt. Insbesondere ist

$\inf \left\{d_{f}(z)\colon z\in \mathbf {H} ^{2}\right\}=0$.

Weil $f$ in der hyperbolischen Ebene keinen Fixpunkt hat, gibt es aber kein $z\in \mathbf {H} ^{2}$ mit $d_{f}(z)=0$, das Infimum wird also nicht angenommen. Die Isometrie $f$ ist parabolisch.

Allgemeiner können Isometrien der hyperbolischen Ebene durch Matrizen $A\in SL(2,\mathbb {R} )$ und Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes durch Matrizen $A\in SL(2,\mathbb {C} )$ beschrieben werden. In beiden Fällen ist die durch eine Matrix $A$ beschriebene Isometrie genau dann parabolisch, wenn für die Spur der Matrix

$\operatorname {Sp} (A)\in \left\{-2,2\right\}$

gilt. Das obige Beispiel entspricht der Matrix $\left({\begin{matrix}1&a\\0&1\end{matrix}}\right)$.

Siehe auch

• Elliptische Isometrie
• Hyperbolische Isometrie

Literatur

• Martin Bridson, André Haefliger: Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 319. Springer-Verlag, Berlin 1999, ISBN 3-540-64324-9.
• Koji Fujiwara, Koichi Nagano, Takashi Shioya: Fixed point sets of parabolic isometries of CAT(0)-spaces. Comment. Math. Helv. 81 (2006), no. 2, 305–335.

Weblinks

• Koji Fujiwara: CAT(0) spaces for Riemannian geometers. (PDF-Datei; 116 kB)