Pendelebenenverfahren

Schnitt eines senkrechten Kreiskegels mit einem Kreiszylinder

Das Pendelebenenverfahren ist eine Methode der Darstellenden Geometrie, Punkte der Schnittkurve zweier Kegel oder eines Kegels mit einem Zylinder zeichnerisch in Grund- und Aufriss zu bestimmen. Dabei werden Schnitte der Zylinder/Kegel mit Ebenen betrachtet, die aus diesen Flächen Geraden ausschneiden. Dies ist bei einem Kegel nur der Fall, wenn eine Ebene durch die Kegelspitze geht. Im Falle eines Zylinders muss die Ebene parallel zur Zylinderachse sein.

• Will man zwei Kegel schneiden, so müssen die Hilfsebenen also durch die beiden Kegelspitzen gehen.
• Falls man einen Kegel mit einem Zylinder schneiden will, müssen die Hilfsebenen die Spitze des Kegels enthalten und parallel zur Zylinderachse sein.

In beiden Fällen haben die Hilfsebenen eine Gerade gemeinsam, sie pendeln bei der Konstruktion um diese Gerade.

Das gewöhnliche Hilfsebenenverfahren verwendet ebene Schnitte mit parallelen Ebenen. Es lässt allerdings als ebene Schnitte auch Kreise zu. Damit ist es auch bei anderen Flächen (Kugel, Torus) einsetzbar. Wenn es möglich ist, verwendet man das gewöhnliche Hilfsebenenverfahren. Allerdings gibt es Fälle, die mit dem Hilfsebenenverfahren nicht aber mit dem Pendelebenenverfahren behandelt werden können.

Bemerkung:

1. Für den Schnitt zweier Zylinder lässt sich immer das einfachere Hilfsebenenverfahren verwenden.
2. Eine weitere Methode Schnittkurven zeichnerisch zu bestimmen, ist das Hilfskugelverfahren. Es verwendet Kugeln als Hilfsflächen und ist besonders gut geeignet für den Schnitt von Rotationsflächen, deren Rotationsachsen sich schneiden.
3. Rechnerische Verfahren zur Bestimmung von Punkten auf einer Schnittkurve werden im Artikel Schnittkurve erläutert.
4. Das Pendelebenenverfahren gibt es auch für den Schnitt zweier Pyramiden bzw. einer Pyramide mit einem Prisma (s. Fucke, Kirch, Nickel: S. 84).

Erläuterung des Verfahrens an einem Beispiel

Prinzip des Pendelebenenverfahrens: alle Pendelebenen enthalten die Gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} und schneiden Kegel und Zylinder in Geraden

Als Beispiel soll ein gerader Kreiskegel mit einem Kreiszylinder, dessen Achse geneigt ist, geschnitten werden (s. Bild). Die Achsen von Kegel und Zylinder schneiden sich nicht. Würden sich die Achsen schneiden, könnte man das einfachere Hilfskugelverfahren anwenden. Wäre die Zylinder Achse nicht geneigt (also horizontal) so wäre das Hilfsebenenverfahren anwendbar. Also kommt für die gegebene Situation nur das Pendelebenenverfahren in Frage.

Idee des Verfahrens: Damit Ebenen aus beiden Flächen Geraden ausschneiden, müssen die Ebenen durch die Kegelspitze Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} gehen und parallel zur Zylinderachse verlaufen, d. h.

• alle Pendelebenen müssen die Parallele Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} zur Zylinderachse durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} enthalten.

Für eine konkret gewählte Pendelebene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi} muss

1. ihr Schnitt mit dem Basiskreis des Kegels bestimmt werden. Dies liefert die Schnittgeraden $l_{1},l_{2}$ mit dem Kegel.
2. ihr Schnitt mit einem Bodenkreis des Zylinders (hier der rechte Kreis) bestimmt werden. Dies liefert die Schnittgeraden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u,v} mit dem Zylinder.
3. Falls die Schnitte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_1\cap u,l_1\cap v, l_2\cap u,l_2\cap v} nicht leer sind, erhält man Punkte der Schnittkurve.

Die Durchführung dieser Idee erfolgt in einer Zweitafelprojektion (Risskante ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_{12}} ):

1. Die Parallele Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} zur Zylinderachse durch die Kegelspitze Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} wird in Grund- und Aufriss gezeichnet. Der Grundriss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a'} ist parallel zur Risskante, der Aufriss trifft im Punkt $T$ (Spurpunkt) die Grundrisstafel.
2. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon} ist die Ebene durch den (rechten) Basiskreis des Zylinders. Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon} zweitprojizierend (d. h. senkrecht auf der Aufrisstafel steht) ist, erscheint ihr Aufriss Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \varepsilon ''} als Gerade. Der Schnitt von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon} mit der Grundrisstafel (Ebene, die den Basiskreis des Kegels enthält) ist die Gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} .
3. Nun wird eine Pendelebene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi} durch eine (geeignete) Wahl ihrer Grundrissspur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} festgelegt. Geeignet bedeutet, dass die Ebene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi} möglichst beide Flächen schneiden wird. Eine Mindestanforderung ist, dass Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle s'} den Basiskreis des Kegels schneiden muss (im Bild in den Punkten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_1,L_2} ). Die Geraden $l_{1},l_{2}$ sind die Schnittgeraden der Pendelebene mit dem Kegel.
4. Die Pendelebene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi} schneidet die Ebene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon} in den Punkten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} . Also ist deren Verbindungsgerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w} der Schnitt der Pendelebene mit der Basiskreis-Ebene des Zylinders und der Schnitt von $w$ mit dem Zylinderkreis liefert Schnittpunkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U,V} . Parallelen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u,v} zur Zylinderachse durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U,V} sind die Schnittgeraden der Pendelebene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi} mit dem Zylinder.
5. Die (nicht leeren) Schnitte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l_1\cap u,l_1\cap v, l_2\cap u,l_2\cap v} liefern zunächst Punkte der Schnittkurve zwischen Kegel und Zylinder im Grundriss, die dann über Ordner in den Aufriss übertragen werden.
6. Werden genügend viele Punkte auf diese Weise konstruiert, lassen sich mit einem Kurven-Lineal (in diesem Fall zwei) Schnittkurven zeichnen.

Pendelebenen-Verfahren: Konstruktion von Schnittpunkten in Grund- und Aufriss

Literatur

• Fucke, Kirch, Nickel: Darstellende Geometrie. Fachbuch-Verlag, Leipzig 1998, ISBN 3-446-00778-4, S. 90
• Graf, Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9. S. 239
• Leopold,C.: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X. S. 154