Prisma (Geometrie)

Ein Prisma mit einem Sechseck als Grundfläche

Ein Prisma (Mehrzahl: Prismen) ist ein geometrischer Körper, der durch Parallelverschiebung eines ebenen Polygons entlang einer nicht in dieser Ebene liegenden Geraden im Raum entsteht. Man spricht auch von einer Extrusion des Vielecks. Ein Prisma ist damit ein spezielles Polyeder.

Das gegebene Polygon wird als Grundfläche bezeichnet, die gegenüberliegende Seitenfläche als Deckfläche. Die Gesamtheit aller übrigen Seitenflächen heißt Mantelfläche. Die Seitenkanten des Prismas, die Grundfläche und Deckfläche verbinden, sind zueinander parallel und alle gleich lang. Grundfläche und Deckfläche sind zueinander kongruent und parallel. Der Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche heißt Höhe $h$ des Prismas.

Gerades und schiefes Prisma

A: gerades Prisma; B: schiefes Prisma

Spezialfall eines schiefen Prismas: Parallelepiped, hier sogar ein Rhomboeder

Erfolgt die Parallelverschiebung des Polygons senkrecht zur Grundfläche, spricht man von einem geraden Prisma, ansonsten von einem schiefen Prisma. Die Mantelfläche eines geraden Prismas besteht aus Rechtecken, im allgemeinen Fall besteht sie aus Parallelogrammen. Ein gerades Prisma mit einem regelmäßigen Polygon als Grundfläche wird als reguläres Prisma bezeichnet.

Der zu einem geraden Prisma duale Körper ist eine Doppelpyramide.

Reguläres Prisma

Ein gerades Prisma mit einem Regelmäßigen Vieleck als Grundfläche wird als reguläres Prisma bezeichnet. Alle regulären Prismen besitzen eine Umkugel, weil alle Ecken gleich weit vom Mittelpunkt entfernt sind. Der Würfel ist das einzige gleichseitige Prisma mit einer Inkugel.

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  dreieckiges Prisma

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  viereckiges Prisma

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  fünfeckiges Prisma

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  sechseckiges Prisma

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  siebeneckiges Prisma

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  achteckiges Prisma

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  neuneckiges Prisma

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  zehneckiges Prisma

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  elfeckiges Prisma

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  zwölfeckiges Prisma

Formeln

Größen eines regelmäßigen Prismas (regelmäßiges n-Eck mit Seitenlänge a als Grundfläche und Höhe h)
	Allgemeiner Fall	Quadratisches Prisma	Regelmäßiges Dreiecksprisma
Grundfläche $A_{g}$	$\left({\frac {n}{4}}\cot \!{\frac {\pi }{n}}\right)a^{2}$	$a^{2}$	${\frac {\sqrt {3}}{4}}\ a^{2}$
Volumen $V$	$\left({\frac {n}{4}}\cot \!{\frac {\pi }{n}}\right)a^{2}h$	$a^{2}h$	${\frac {\sqrt {3}}{4}}\ a^{2}h$
Oberflächeninhalt $O$	${\frac {an}{2}}\ \left(2h+a\ \cot {\frac {\pi }{n}}\right)$	$a^{2}+a{\sqrt {4h^{2}+a^{2}}}$	${\frac {3a}{4}}\left({\sqrt {3}}\ {\frac {a}{3}}+{\sqrt {4h^{2}+{\frac {a^{2}}{3}}}}\right)$
Umkugelradius $r_{u}$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {h^{2}+{\frac {a^{2}}{\sin ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}}}$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {h^{2}+2a^{2}}}$	${\frac {1}{2}}{\sqrt {h^{2}+{\frac {4a^{2}}{3}}}}$
Innenwinkel der regelmäßigen Grundfläche $\alpha$	${\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }$	$90^{\circ }$	$60^{\circ }$
Winkel zwischen Grundfläche und Rechtecken $\beta _{1}$	$90^{\circ }$	$90^{\circ }$	$90^{\circ }$
Winkel zwischen den Rechtecken $\beta _{2}$	${\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }$	$90^{\circ }$	$60^{\circ }$
Raumwinkel in den Ecken $\Omega$	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{n - 2}{n} \cdot \pi \ \mathrm{sr}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\pi}{2} \ \mathrm{sr}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\pi}{3} \ \mathrm{sr}}

Sonderfälle und Verallgemeinerung

Besondere Formen des Prismas sind die Quader und Würfel. Bei diesen kann jede Seite als Grundfläche des Prismas aufgefasst werden.

In der Optik versteht man unter einem Prisma meistens ein gerades Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche, siehe Prisma (Optik).

Das Prisma ist in der Mathematik ein Spezialfall des allgemeinen Zylinders.

Symmetrie

Jedes Prisma mit einer punktsymmetrischen Grundfläche ist selbst punktsymmetrisch.

Formeln für Volumen, Mantelfläche und Oberfläche

Das Volumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} eines Prismas ist gegeben durch

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wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} den Flächeninhalt der Grundfläche und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} die Höhe des Prismas bezeichnet. Aus dem Prinzip von Cavalieri folgt, dass zwei Prismen (etwa ein gerades und ein schiefes Prisma) bei gleicher Grundfläche und Höhe das gleiche Volumen besitzen.

Die Mantelfläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} eines geraden Prismas ist gegeben durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M = U \cdot h} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U } für den Umfang der Grundfläche und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} für die Höhe des Prismas steht.

Die gesamte Oberfläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O} eines Prismas ergibt sich aus

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wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} dem Inhalt von Grundfläche und Mantelfläche entsprechen.

Umkugel

Nur gerade Prismen mit einer Grundfläche, welche einen Umkreis besitzt, haben eine Umkugel. Alle regulären Prismen und alle geraden Dreiecksprismen besitzen daher eine Umkugel. Der Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} der Umkugel bei gegebener Höhe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} und gegebenem Umkreisradius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} berechnet sich nach dem Satz des Pythagoras zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R = \sqrt{r^2 + \frac{h^2}{4}}}

Inkugel

Sowohl gerade wie auch schiefe Prismen können eine Inkugel haben.

Bei gegebener Höhe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} eines Prismas ergibt sich der Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} der Inkugel zu:

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Voraussetzung für die Existenz einer Inkugel:

1. Es gibt eine gedachte Ebene, die senkrecht auf allen Parallelogrammen des Mantels steht. Der Schnitt dieser Ebene mit den Parallelogrammen ergibt ein Polygon.
2. Das Polygon aus 1 besitzt einen Inkreis.
3. Der Radius dieses Inkreises beträgt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h / 2} .

Kantenkugel

Nur gerade Prismen mit einem regelmäßigen Polygon als Grundfläche und gleicher Länge aller Kanten haben eine Kantenkugel. Der Mantel solcher Prismen wird also aus Quadraten gebildet. Bei gegebenem Umkreisradius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} ergibt sich der Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} der Kantenkugel zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R = r}

Siehe auch

• Antiprisma
• Prismatoid

Literatur

• Prisma. In: Meyers Großes Konversations-Lexikon. 6. Auflage. Band 16, Bibliographisches Institut, Leipzig/Wien 1908, S. 354.
• Bronstein-Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, 21./22. Aufl. 1981, S. 196.

Weblinks

Commons: Prismen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Prisma – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Prisma auf mathematische-basteleien.de
• Eric W. Weisstein: Prism. In: MathWorld (englisch).