Raumwinkel

Raumwinkel $W$ in einer Kugel mit Radius R

Der Raumwinkel ist das dreidimensionale Gegenstück zum zweidimensionalen für die Ebene definierten Winkel. Er beschreibt den Anteil am gesamten dreidimensionalen Raum, der z. B. im Inneren eines gegebenen Kegel- oder Pyramidenmantels liegt.

Definition

Der Raumwinkel $\Omega$ ist definiert als der Flächeninhalt $A$ einer Teilfläche $F$ einer Kugeloberfläche, dividiert durch das Quadrat des Radius $r$ der Kugel:

$\Omega ={\frac {A}{r^{2}}}$.

Bei Betrachtung der Einheitskugel ($r=1$) ist $A$ also betragsgleich dem zugehörigen Raumwinkel. So ist der volle Raumwinkel gleich der Oberfläche der Einheitskugel, nämlich $4\cdot \pi$.

Die Teilfläche kann von beliebiger Umrissform sein. Vektoriell geschrieben als Flächenintegral ist

$\Omega =\iint _{F}{\frac {{\hat {\vec {n}}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}{r^{2}}}$.

Dabei ist ${\hat {\vec {n}}}$ der Einheitsvektor vom Koordinatenursprung, $\mathrm {d} {\vec {A}}$ das differentielle Flächenelement und $r$ dessen Abstand vom Koordinatenursprung.

Anders als das Bild vielleicht vermuten lässt, spielt die Umrissform des Flächenstücks keine Rolle. Jede Umrissform auf der Kugeloberfläche mit dem gleichen Flächeninhalt definiert einen Raumwinkel der gleichen Größe. Legt man durch jeden Punkt der Umrissform einen Strahl mit dem Mittelpunkt der Kugel als Startpunkt, dann erhält man eine geometrische Figur, die den Raumwinkel veranschaulicht. Dies ist vergleichbar mit der Darstellung für einen Winkel in der Ebene: Zwei Halbgeraden mit einem gemeinsamen Startpunkt.

Maßeinheiten

Obwohl der Raumwinkel eine Größe der Dimension Zahl ist, wird er zur Verdeutlichung meist in der Einheit Steradiant (sr) angegeben; dies entspricht dem Bogenmaß mit der Einheit Radiant (rad) beim ebenen Winkel. Ein Raumwinkel von 1 sr umschließt auf einer Kugel mit dem Radius 1 m eine Fläche von 1 m². Da eine ganze Kugeloberfläche den Flächeninhalt $4\cdot \pi \cdot r^{2}$ hat, ist der zugehörige volle Raumwinkel

$\Omega =4\cdot \pi \ \mathrm {sr} \approx 12{,}56637\ \mathrm {sr}$.

Gelegentlich werden Raumwinkel auch in Quadratgrad, (°)², angegeben. 1 (°)² ist gleich $\left({\tfrac {2\pi }{360}}\right)^{2}\approx 0{,}00030462\ \mathrm {sr}$.

Die Verwendung einer Hilfsmaßeinheit für eine Größe der Dimension Zahl hat, wie auf vielen Gebieten, insbesondere auch beim Raumwinkel, den Vorteil, dass schon an der verwendeten Einheit erkennbar ist, welche physikalische Größe gemeint ist. Die Lichtstärke (cd = lm/sr) zeigt im Gegensatz zum Lichtstrom (lm) ihre Abhängigkeit vom Raumwinkel durch das Auftreten des Steradiant in der Einheit. Die Lichtstärke bezeichnet somit einen vom Raumwinkel abhängigen Lichtstrom.

Darstellung mit Kugelkoordinaten

Ein Raumwinkel aus einem kartesischen Polarkoordinatenabschnitt

Der Raumwinkel eines Kugeldreiecks beträgt in Abhängigkeit von seinen Innenwinkeln $(\alpha +\beta +\gamma -\pi )$ Steradiant (siehe Kugeldreieck - Eigenschaften).

In einem Kugelkoordinatensystem kann der Raumwinkel besonders übersichtlich definiert werden, da es keine radiale Variable gibt. Zwei Meridianwinkel $\varphi _{1}$, $\varphi _{2}$ und zwei Breitenwinkel $\gamma _{1}$, $\gamma _{2}$ bestimmen ein Flächenelement auf einer Kugeloberfläche. Der zugehörige Raumwinkel beträgt:

$\Omega =\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\int \limits _{\gamma _{1}}^{\gamma _{2}}\sin(\gamma )\ \mathrm {d} \gamma \ \mathrm {d} \varphi$

Raumwinkel eines Kegels

Kanonischer Raumwinkel

Wählt man als Umrissform auf der Kugeloberfläche einen Kreis, so erhält man den kanonischen Raumwinkel. Der Raumwinkel bildet dann den Mantel eines geraden Kreiskegels, in dessen Spitze der Mittelpunkt der Kugel liegt.

Ist $2\theta$ der Öffnungswinkel in der Spitze des Kegels, dann ergibt sich der Raumwinkel $\Omega$ aus dem Doppelintegral

${\begin{aligned}\Omega &=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\theta }\sin(\theta ')\ \mathrm {d} \theta '\ \mathrm {d} \phi =\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{\theta }\sin(\theta ')\ \mathrm {d} \theta '\\&=2\cdot \pi \cdot (1-\cos(\theta ))\\&=4\cdot \pi \cdot \sin ^{2}\left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}$

Öffnungswinkel $2\theta$ in Grad	0	1	2	5	10	15	30	45	57,2958
Öffnungswinkel $2\theta$ in Radiant	0,0000	0,0175	0,0349	0,0873	0,1745	0,2618	0,5236	0,7854	1,0000
Raumwinkel $\Omega$ in Quadratgrad	0,00	0,79	3,14	19,63	78,49	176,46	702,83	1570,10	2525,04
Raumwinkel $\Omega$ in Steradiant	0,0000	0,0002	0,0010	0,0060	0,0239	0,0538	0,2141	0,4783	0,7692
Öffnungswinkel $2\theta$ in Grad	60	65,5411	75	90	120	150	180	270	360
Öffnungswinkel $2\theta$ in Radiant	1,0472	1,1439	1,3090	1,5708	2,0944	2,6180	3,1416	4,7124	6,2832
Raumwinkel $\Omega$ in Quadratgrad	2763,42	3282,81	4262,39	6041,36	10313,24	15287,95	20626,48	35211,60	41252,96
Raumwinkel $\Omega$ in Steradiant	0,8418	1,0000	1,2984	1,8403	3,1416	4,6570	6,2832	10,7261	12,5664

Raumwinkel einer rechteckigen Pyramide

Zum Raumwinkel einer Pyramide

Der Spezialfall des Raumwinkels mit einem rechteckigen und ebenen Umriss entspricht der geometrischen Form einer Pyramide, wobei der Ursprung genau senkrecht über dem Mittelpunkt des ebenen Rechtecks stehe, (siehe Abbildung). Dieser Raumwinkel tritt z. B. bei der Berechnung der Étendue von optischen Systemen mit rechteckigen Aperturen auf.

Er lässt sich sehr leicht mit der Oosterom-und-Strackee-Formel berechnen. Mit den Pyramidengrundseiten $w_{x}$ und $w_{y}$ sowie der Höhe h ergibt sich:

$\Omega =4\cdot \arctan \left({\frac {w_{x}\cdot w_{y}}{2\cdot h\cdot {\sqrt {4\cdot h^{2}+w_{x}^{2}+w_{y}^{2}}}}}\right)$

Verwendet man für die Berechnung die beiden Öffnungswinkel $2\cdot \varphi _{x}$ und $2\cdot \varphi _{y}$, wobei $\tan(\varphi _{x})={\frac {w_{x}}{2\cdot h}}$ und $\tan(\varphi _{y})={\frac {w_{y}}{2\cdot h}}$ ist, so folgt nach einigen trigonometrischen Umformungen:

$\Omega =4\cdot \arcsin \left(\sin(\varphi _{x})\cdot \sin(\varphi _{y})\right)$

Beispiele:

Eine Rechteckblende vor einer Punktlichtquelle grenze den Lichtstrahl auf die Winkel 45° ($\varphi _{x}=22{,}5^{\circ }$) und 20° ($\varphi _{y}=10^{\circ }$) ein. Der Raumwinkel beträgt 0,27 sr.

Handelt es sich um eine quadratische Blende und beide Winkel sind 20° groß, dann umfasst der Raumwinkel 0,12 sr. Der kanonische Raumwinkel einer 20°-Kreisblende liegt bei 0,10 sr.

Raumwinkel von Polyedern

3 Formeln für Raumwinkel

Im Folgenden sind $P_{0},P_{1},P_{2},P_{3}$ vier Punkte, so dass die Vektoren ${\overrightarrow {P_{0}P_{1}}},{\overrightarrow {P_{0}P_{2}}},{\overrightarrow {P_{0}P_{3}}}$ nicht in einer Ebene liegen (den Raum aufspannen), $k_{0}$ ist die Einheitskugel um $P_{0}$ und $S_{1},S_{2},S_{3}$ die Schnittpunkte der Geraden ${\overline {P_{0}P_{1}}},{\overline {P_{0}P_{2}}},{\overline {P_{0}P_{3}}}$ mit der Einheitskugel $k_{0}$. $P_{0},P_{1},P_{2},P_{3}$ bilden ein Tetraeder.

Würfel mit Einheitskugel in einer Ecke

Ebenen-Formel

Die Winkel $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$ des sphärischen Dreiecks $S_{1},S_{2},S_{3}$ sind die Winkel zwischen den drei Ebenen, die durch die drei Punktetripel $(P_{0},P_{1},P_{2})$, $(P_{0},P_{2},P_{3})$, $(P_{0},P_{3},P_{1})$ aufgespannt werden.

Der Flächeninhalt des sphärischen Dreiecks $S_{1},S_{2},S_{3}$ ist der Raumwinkel in der Tetraederecke $P_{0}$ (siehe oben):

• $\Omega =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}-\pi$.

Beispiel: Für $P_{0}=(0,0,0),P_{1}=(2,0,0),P_{2}=(0,2,0),P_{3}=(0,0,2)$ sind die Winkel $\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=90^{\circ }={\tfrac {\pi }{2}}$ und der Raumwinkel im Nullpunkt gleich

$\Omega =3\cdot {\frac {\pi }{2}}-\pi ={\frac {\pi }{2}}\approx 1,5707.$

Kanten-Formel

Es sind $\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}$ die Winkel zwischen den drei Geraden ${\overline {P_{0}P_{1}}},{\overline {P_{0}P_{2}}},{\overline {P_{0}P_{3}}}$. Sie enthalten die Kanten des Tetraeders im Punkt $P_{0}$.

Der Raumwinkel kann dann mit dem Satz von L'Huilier berechnet werden.

• $\Omega =4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\tfrac {\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {-\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {\theta _{1}-\theta _{2}+\theta _{3}}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {\theta _{1}+\theta _{2}-\theta _{3}}{4}}\right)}}\right)$.

Beispiel: Für $P_{0}=(0,0,0),P_{1}=(2,0,0),P_{2}=(0,2,0),P_{3}=(0,0,2)$ sind die Winkel $\theta _{1}=\theta _{2}=\theta _{3}=90^{\circ }$ und

$\Omega =4\cdot \arctan \left({\sqrt {\tan \left({\tfrac {270^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {90^{\circ }}{4}}\right)\cdot \tan \left({\tfrac {90^{\circ }}{4}}\right)}}\right)$.

Der Raumwinkel im Punkt $P_{0}$ ist (wie vorher) gleich $\Omega \approx 1,5707$.

Richtungsvektoren-Formel

Sind die Vektoren ${\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3}$ Richtungsvektoren der Geraden ${\overline {P_{0}P_{1}}},{\overline {P_{0}P_{2}}},{\overline {P_{0}P_{3}}}$, so gilt für den Raumwinkel

• $\Omega =2\arctan \left({\frac {({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3})}{|{\vec {r}}_{1}|\cdot |{\vec {r}}_{2}|\cdot |{\vec {r}}_{3}|+({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2})\cdot |{\vec {r}}_{3}|+({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{3})\cdot |{\vec {r}}_{2}|+({\vec {r}}_{2}\cdot {\vec {r}}_{3})\cdot |{\vec {r}}_{1}|}}\right)$.

Dabei ist $({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3})$ das Spatprodukt der Vektoren ${\vec {r}}_{1}$, ${\vec {r}}_{2}$ und ${\vec {r}}_{3}$, $({\vec {r}}_{1}\cdot {\vec {r}}_{2})$ ist das Skalarprodukt und $|{\vec {r}}_{1}|$ ist die Länge des Vektors.

Diese Darstellung wurde im Jahr 1983 von Oosterom und Strackee angegeben und bewiesen.

Beispiel: Für $P_{0}=(0,0,0),P_{1}=(2,0,0),P_{2}=(0,2,0),P_{3}=(0,0,2)$ sind $\;{\vec {r}}_{1}={\overrightarrow {P_{0}P_{1}}},\;{\vec {r}}_{2}={\overrightarrow {P_{0}P_{2}}},\;{\vec {r}}_{3}={\overrightarrow {P_{0}P_{3}}}\;$ Richtungsvektoren. Mit $\;({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{3})=8,\;|{\vec {r}}_{i}|=2,\;{\vec {r}}_{i}\cdot {\vec {r}}_{j}=0\;$ für $i\neq j$ ergibt sich (wie oben)

$\Omega =2\cdot \arctan(1)={\frac {\pi }{2}}$

Beispiele mit 3 Kanten an einer Ecke

Die drei Formeln zur Bestimmung des Raumwinkels können auf alle Polyederecken mit drei Kanten (Ebenen) angewandt werden.

Reguläres Tetraeder

Tetraeder, Raumwinkel

Bei einem regulären Tetraeder sind die Winkel zwischen Seitenflächen $\alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\arctan(2{\sqrt {2}})$ und nach der Ebenenformel

$\Omega =3\arctan(2{\sqrt {2}})-\pi \approx 0,5513\;\mathrm {sr}$

Die Kantenwinkel sind $\theta _{1}=\theta _{2}=\theta _{3}=60^{\circ }$ und damit gilt nach der Kantenformel

$\Omega =4\arctan \left({\sqrt {\tan(45^{\circ })\cdot (\tan 15^{\circ })^{3}}}\right)\approx 0,5513\;\mathrm {sr}$

Gerades Prisma

Ein gerades Prisma besitzt ein n_Eck als Grundfläche und zur Grundfläche senkrechte weitere Kanten (Ebenen). Ist der Winkel in einem Punkt $P$ des Grundflächenpolygons $\alpha$ so folgt aus der Ebenenformel (siehe oben) wegen der Orthogonalität der Seitenflächen für den Raumwinkel in $P$

$\Omega =\alpha +{\frac {\pi }{2}}+{\frac {\pi }{2}}-\pi =\alpha$.

gerades Prisma

Oktaederstumpf

Oktaederstumpf

Raumfüllung mit kongruenten Oktaederstümpfen. In jeder Ecke treffen 4 Oktaederstümpfe zusammen und bilden einen vollen Raumwinkel.

Ein Oktaederstumpf entsteht durch Beschneidung eines regulären Oktaeders. In einer Ecke $P$ treffen sich 3 Kanten und drei Ebenen, zwei reguläre Sechsecke und ein Quadrat. Es gibt also zwei Flächenwinkel: $\alpha _{1}$ zwischen zwei Sechsecken und $\alpha _{2}$ zwischen einem Sechseck und einem Quadrat. Es gilt (siehe Oktaederstumpf)

$\alpha _{1}=2\arctan {\sqrt {2}},\quad \alpha _{2}=\pi -\arctan {\sqrt {2}}.$

Damit ist nach der obigen Ebenenformel der Raumwinkel im Punkt $P$

• $\Omega =\alpha _{1}+2\alpha _{2}-\pi =\pi$

Die Raumwinkel in den Ecken des Oktaederstumpfs sind also gleich ${\tfrac {1}{4}}$ des vollen Raumwinkels. Dieses Ergebnis wird dadurch bestätigt, dass sich der dreidimensionale euklidische Raum lückenlos mit kongruenten Oktaederstümpfen ausfüllen lässt, wobei in jeder Ecke 4 Oktaederstümpfe zusammentreffen (siehe Raumfüllung).

Beispiele mit mehr Kanten in einer Ecke

Gehen durch eine Polyederecke mehr als 3 Kanten, hat man ein sphärisches Polygon mit mehr als 3 Ecken. In vielen Fällen lässt sich das sphärische Polygon mit Hilfe eines inneren Hilfspunktes $Z$ in sphärische Dreiecke zerlegen (analog zur Triangulierung eines ebenen konvexen Polygons).

Gerade quadratische Pyramide

Gerade quadratische Pyramide: Zur Raumwinkelberechnung an der Spitze zerlegt

Für eine gerade quadratische Pyramide mit der Quadratseitenlänge $a$ und Höhe $h$ ist der Winkel zwischen den Dreiecken

$\beta _{1}=2\arctan \left({\frac {1}{2h}}{\sqrt {4h^{2}+2a^{2}}}\right)$

Schneidet man aus der Pyramide, wie aus einem Kuchen, entlang der Pyramidenhöhe und durch jeweils zwei benachbarte Basispunkte, erhält man eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche und einer Pyramidenkante an der Basis. Für den Raumwinkel an der Spitze der dreieckigen Pyramide ergibt sich:

$\Omega _{3}={\frac {\pi }{2}}+{\frac {\beta _{1}}{2}}+{\frac {\beta _{1}}{2}}-\pi =\beta _{1}-{\frac {\pi }{2}}$

$\quad =2\arctan \left({\frac {1}{2h}}{\sqrt {4h^{2}+2a^{2}}}\right)-{\frac {\pi }{2}}$

und der Raumwinkel der Pyramide an der Spitze ist

• $\Omega _{S}=4\cdot \Omega _{3}=8\arctan \left({\frac {1}{2h}}{\sqrt {4h^{2}+2a^{2}}}\right)-2\pi$

Der Winkel zwischen einem Dreieck und dem Quadrat ist

$\beta _{2}=\arctan {\frac {2h}{a}}$

Mit der Ebenenformel ergibt sich für den Raumwinkel an einer Basisecke

• $\Omega _{B}=\beta _{1}+\beta _{2}+\beta _{2}-\pi$

$=2\arctan \left({\frac {1}{2h}}{\sqrt {4h^{2}+2a^{2}}}\right)+2\;\arctan {\frac {2h}{a}}-\pi$

Speziell:

Für $h={\frac {a}{\sqrt {2}}}$ ist die Pyramide ein halbes Oktaeder. In diesem Fall ist der Raumwinkel an der Spitze

$\Omega _{O}=8\arctan {\sqrt {2}}-2\pi =2\Omega _{B}$.

Quadratische Pyramide: halbes Oktaeder

Ikosaeder, Raumwinkel $\Omega$

Reguläres Ikosaeder

Die hier geschilderte Methode wird auch bei der Bestimmung des Raumwinkels eines regulären Ikosaeders angewandt. Bei einem Ikosaeder gehen durch jede Ecke 5 Kanten. Es wird der Raumwinkel einer Pyramide mit einem regulären Fünfeck als Basis bestimmt.

Weblinks

Commons: Solid angle – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien