Viereck
Ein Viereck (auch Tetragon, Quadrangel oder Quadrilateral) ist eine Figur der ebenen Geometrie, nämlich ein Vieleck mit vier Ecken und vier Seiten. Analog zu Dreiecken ist auch eine Verallgemeinerung des Vierecksbegriffes auf nichteuklidische Geometrien (gekrümmte Vierecke) möglich. In der projektiven Geometrie spielen vollständige Vierecke und die dazu dualen vollständigen Vierseite eine wichtige Rolle. In der endlichen Geometrie werden Inzidenzeigenschaften des Vierecks zur Definition des Begriffs „Verallgemeinertes Viereck“ verwendet.
Einteilung
Ein Viereck hat zwei Diagonalen. Liegen beide Diagonalen innerhalb des Vierecks, so ist das Viereck konvex, liegt genau eine Diagonale außerhalb, so nennt man das Viereck konkav. Das Viereck ist das einfachste Vieleck, das konkav sein kann. Bei einem überschlagenen Viereck liegen beide Diagonalen außerhalb des Vierecks, zum Beispiel beim verschränkten Trapez. Überschlagene Vierecke sind verallgemeinerte Polygone und werden normalerweise nicht zu den Vierecken gerechnet. Gleiches gilt für entartete Vierecke, bei denen zwei oder mehr Eckpunkte zusammenfallen oder mehr als zwei Eckpunkte auf einer Geraden liegen.
Die Summe der Innenwinkel im Viereck beträgt 360°, weil sich jedes Viereck in zwei Dreiecke zerlegen lässt.
Ein Trapez ist ein Viereck mit mindestens zwei parallelen Seiten. Sind je zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel, spricht man vom Parallelogramm. Ein Viereck, welches vier gleich große Innenwinkel von 90°, also rechte Winkel, hat, ist ein Rechteck. Ein Rechteck, das vier gleich lange Seiten hat, ist ein Quadrat. Das Quadrat ist das regelmäßige Viereck.
Beim Drachenviereck (Deltoid) stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander, und eine Diagonale wird durch die andere halbiert. Dies ist gleichbedeutend damit, dass es zwei Paare benachbarter Seiten gibt, die jeweils gleich lang sind. Bei vier gleich langen Seiten spricht man von einer Raute (Rhombus). Ein Quadrat ist eine Raute mit vier gleich großen Innenwinkeln.
Bei einem Sehnenviereck sind die vier Seiten Sehnen des Umkreises. Sind die vier Seiten Tangenten eines Inkreises, so spricht man von einem Tangentenviereck.
Zwischen den einzelnen Vierecktypen gelten Mengenrelationen, insbesondere die in der Abbildung dargestellten Teilmengenbeziehungen, wie zum Beispiel
- Quadrate ⊂ Rechtecke ⊂ Parallelogramme ⊂ Trapeze ⊂ konvexe Vierecke ⊂ Vierecke
Die Quadrate sind eine Teilmenge der Rechtecke, die Rechtecke sind eine Teilmenge der Parallelogramme usw.
Ferner gelten auch noch folgende Beziehungen für Schnittmengen:
- Quadrate = Rechtecke ∩ Rauten
- Quadrate = Drachenvierecke ∩ gleichschenklige Trapeze
- Rechtecke = Sehnenvierecke ∩ Parallelogramme
- Rauten = Drachenvierecke ∩ Trapeze
- Rauten = Tangentenvierecke ∩ Parallelogramme
- Gleichschenklige Trapeze = Sehnenvierecke ∩ Trapeze
Die ebenen Vierecke werden nach verschiedenen Gesichtspunkten eingeteilt:
- nach Eigenschaften des Inneren:
- konvex
- nicht konvex
- nach Symmetrie-Eigenschaften:
- eine Diagonale ist Symmetrieachse: Drachenviereck
- beide Diagonalen sind Symmetrieachsen: Raute
- die Mittelsenkrechte einer Seite ist eine Symmetrieachse: gleichschenkliges Trapez
- die Mittelsenkrechten zweier Seiten sind Symmetrieachsen: Rechteck
- vier Symmetrieachsen: Quadrat
- zweizählige Drehsymmetrie (Punktsymmetrie): Parallelogramm
- vierzählige Drehsymmetrie: Quadrat
- nach der Länge der Seiten:
- zwei Paare gleich langer gegenüber liegender Seiten: Parallelogramm
- zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten: Drachenviereck
- gleichseitiges Viereck: Raute
- die Summe der Längen gegenüber liegender Seiten ist gleich: Tangentenviereck
- nach der Größe der Winkel:
- zwei Paare gleich großer gegenüber liegender Winkel: Parallelogramm
- zwei Paare gleich großer benachbarter Winkel: gleichschenkliges Trapez
- gleichwinkeliges Viereck: Rechteck
- die Summe gegenüber liegender Winkel ergibt 180°: Sehnenviereck
- nach der Lage der Seiten:
- ein Paar paralleler Seiten: Trapez
- zwei Paar paralleler Seiten: Parallelogramm
- die Seiten berühren denselben Kreis (den Inkreis): Tangentenviereck
- nach der Lage der Ecken:
- die Ecken liegen auf demselben Kreis (dem Umkreis): Sehnenviereck
Die wichtigsten Eigenschaften der besonderen Vierecke sind in folgender Tabelle dargestellt:
| Anzahl der Symmetrieachsen | punktsymmetrisch | gegenüber liegende Seiten parallel | gegenüber liegende Seiten gleich lang | benachbarte
Seiten gleich lang |
gegenüber liegende Winkel gleich groß | benachbarte Winkel gleich groß | Summe der gegenüber liegenden Seitenlängen gleich | Summe der gegenüber liegenden Winkel gleich | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Quadrat | 4 | ja | paarweise | alle | alle | alle | alle | ja | ja |
| Rechteck | mindestens 2 | ja | paarweise | paarweise | alle | alle | ja | ||
| Raute | mindestens 2 | ja | paarweise | alle | alle | paarweise | ja | ||
| Parallelogramm | ja | paarweise | paarweise | paarweise | |||||
| gleichschenkliges Trapez | mindestens 1 | ja | ja | paarweise | ja | ||||
| Drachenviereck | mindestens 1 | paarweise | ja | ||||||
| Trapez | ja | ||||||||
| Sehnenviereck | ja | ||||||||
| Tangentenviereck | ja |
Formeln
| Mathematische Formeln zum allgemeinen Viereck | ||
|---|---|---|
| Flächeninhalt | ||
| Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = \frac{a \cdot d \cdot \sin(\alpha) + b \cdot c \cdot \sin(\gamma)}{2} = \frac{a \cdot b \cdot \sin(\beta) + c \cdot d \cdot \sin(\delta)}{2} } | ||
| Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = \frac{1}{4} \cdot \left(b^2 + d^2 - a^2 - c^2\right) \cdot \tan(\theta)} | ||
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| Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{|\vec e|^2 \cdot |\vec f|^2 - (\vec e \cdot \vec f)^2}} | ||
| Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = \frac{1}{2} \cdot \left|(x_A - x_C) \cdot (y_{B}-y_{D}) + (x_D - x_B) \cdot (y_A - y_C)\right|} | ||
| Länge der Diagonalen
(siehe Kosinussatz) |
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e = \sqrt{a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\beta)} = \sqrt{c^2 + d^2 - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos(\delta)}} | |
| Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle f={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2\cdot a\cdot d\cdot \cos(\alpha )}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos(\gamma )}}} | ||
| Innenwinkel
(siehe Kosinussatz) |
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha = \arccos\left(\frac{a^2 + d^2 - f^2}{2 \cdot a \cdot d}\right)} | |
| Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta = \arccos\left(\frac{a^2 + b^2 - e^2}{2 \cdot a \cdot b}\right)} | ||
| Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma = \arccos\left(\frac{b^2 + c^2 - f^2}{2 \cdot b \cdot c}\right)} | ||
| Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta = \arccos\left(\frac{c^2 + d^2 - e^2}{2 \cdot c \cdot d}\right)} | ||
Ein konvexes Viereck kann durch fünf voneinander unabhängige Bestimmungsstücke wie
- Länge der Seiten
- Länge der Diagonalen
- Umfang
- Innenwinkel
- Flächeninhalt
beschrieben werden. Ein Beispiel nicht unabhängiger Größen sind die vier Innenwinkel, weil sich der vierte Innenwinkel aus den drei anderen und der Innenwinkelsumme von 360° berechnen lässt. Sind auch nichtkonvexe Vierecke zugelassen, gibt es mehrdeutige Kombinationen, z. B. vier Seiten und ein Innenwinkel, da die dem gegebenen Winkel gegenüberliegende Ecke konvex oder konkav sein kann.
Wenn ein spezielles Viereck vorliegt, reichen weniger Größen aus, um seine Form zu beschreiben:
- vier bei einem Tangentenviereck, Sehnenviereck oder Trapez
- drei bei einem Parallelogramm, Drachenviereck, rechtwinkligen Trapez oder gleichschenkligen Trapez
- zwei bei einer Raute oder einem Rechteck
- eine bei einem Quadrat
Ungleichungen
Für ein konvexes Viereck mit den Seitenlängen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} , , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} , den Diagonalen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} und dem Flächeninhalt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} gelten folgende Ungleichungen:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \leq \frac{(a + c) \cdot (b + d)}{4}} mit Gleichheit nur für Rechtecke
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \leq \frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{4}} mit Gleichheit nur für Quadrate
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \leq \frac{(a + b + c + d)^2}{16}} mit Gleichheit nur für Quadrate
- mit Gleichheit nur für Rechtecke
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \leq \frac{e \cdot f}{2}} mit Gleichheit nur dann, wenn die Diagonalen orthogonal sind
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \leq \frac{e^2 + f^2}{4}} mit Gleichheit nur dann, wenn die Diagonalen orthogonal und gleich lang sind
Aus der Formel von Bretschneider folgt mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s = \frac{a + b + c + d}{2}} die Ungleichung
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \leq \sqrt{(s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c) \cdot (s - d)}} mit Gleichheit nur für Sehnenvierecke
Schwerpunkt
Die gepunkteten Linien, der Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} und die Schwerpunkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_3} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_4} sind für die alternative Lösung nicht erforderlich, sie dienen lediglich der Verdeutlichung, z. B. der Parallelität der Halbgeraden zur Diagonalen.
Animation siehe hier
Bei punktsymmetrischen Vierecken, den Parallelogrammen, ist der Schwerpunkt das Symmetriezentrum, also der Diagonalenschnittpunkt.
Im Allgemeinen muss man unterscheiden zwischen dem Eckenschwerpunkt (alle Masse sitzt in den Ecken, jede Ecke hat die gleiche Masse) und dem Flächenschwerpunkt (die Masse ist gleichmäßig über die Fläche des Vierecks verteilt). Beim Dreieck stimmen diese beiden Schwerpunkte überein. Daneben gibt es noch den Kantenschwerpunkt (die Masse ist gleichmäßig auf die Kanten verteilt, die Masse jeder Kante ist proportional zu ihrer Länge). Der Kantenschwerpunkt wird jedoch selten betrachtet. Er stimmt auch beim Dreieck nicht mit dem Flächen- und Eckenschwerpunkt überein, sondern entspricht dort dem Inkreismittelpunkt des Mittendreiecks.[1]
Den Flächenschwerpunkt eines Vierecks kann man wie folgt konstruieren: Man zerlegt das Viereck durch eine Diagonale in zwei Dreiecke und bestimmt jeweils deren Schwerpunkt als Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Diese beiden Punkte verbindet man durch eine Gerade. Dasselbe wiederholt man, indem man das Viereck durch die andere Diagonale teilt. Der Schnittpunkt der beiden Verbindungsgeraden ist der Schwerpunkt des Vierecks.[2]
Die Gerade durch die beiden Dreiecksschwerpunkte ist eine Schwerlinie beider Dreiecke und damit auch des Vierecks. Also muss der Schwerpunkt auf dieser Geraden liegen.
Den Eckenschwerpunkt erhält man, indem man die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten verbindet. Der Schnittpunkt der beiden Verbindungslinien ist der Eckenschwerpunkt.[2] Ist ein kartesisches Koordinatensystem gegeben, so kann man die Koordinaten des Eckenschwerpunkts Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(x_S|y_S)} aus den Koordinaten der Ecken Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(x_A|y_A), B(x_B|y_B), C(x_C|y_C), D(x_D|y_D)} berechnen:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_S = \frac{1}{4} \cdot (x_A + x_B + x_C + x_D), \quad y_S = \frac{1}{4} \cdot (y_A + y_B + y_C + y_D)}
Die nebenstehende Darstellung, konstruiert ähnlich wie oben beschrieben, beinhaltet auch eine alternative Vorgehensweise. Dazu sind in zwei sich kreuzenden Dreiecken deren Schwerpunkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_2} zu ermitteln. Abschließend wird eine Halbgerade ab Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_1} parallel zur Diagonale Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{BD}} und eine Halbgerade ab Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_2} parallel zur Diagonale Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{AC}} gezogen. Somit ist der Schnittpunkt der beiden Halbgeraden der Flächenschwerpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} des Vierecks. Dies bedeutet, die gepunkteten Linien, der Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H} und die Schwerpunkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_3} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_4} sind für die alternative Vorgehensweise nicht erforderlich.
Siehe auch
- Ungleichungen in Vierecken
- Zu den Begriffen vollständiges Viereck und vollständiges Vierseit in der projektiven Geometrie siehe deren Definition im Artikel Fano-Axiom
Weblinks
Einzelnachweise
- ↑ Hartmut Wellstein: Website der Universität Flensburg, Elementargeometrie, Schwerpunkte des Dreiecks, Kapitel 1.3.2, Stand 28.01.2001 (Memento vom 15. August 2010 im Internet Archive) abgerufen am 28. September 2017
- ↑ a b Hans Walser: 4 Schwerpunkte beim Viereck, 4.2 Flächenschwerpunkt Abb. 14. In: Schwerpunkt Forum für Begabtenförderung 22. bis 24. März 2012, TU Berlin. Hans Walser Universität Basel, abgerufen am 28. September 2017.
