Magnetostatik

Die Magnetostatik ist ein Teilgebiet der Elektrodynamik. Sie behandelt magnetische Gleichfelder, also zeitlich konstante Magnetfelder.

Grundlagen

In der Magnetostatik wird die räumliche Verteilung von Magnetfeldern in der Umgebung von Dauermagneten und von stationären Strömen (Konzept des Stromfadens) untersucht. Ein stationärer Strom ist beispielsweise Gleichstrom in einem elektrischen Leiter. Hierzu gehören neben den einzelnen magnetischen Eigenschaften der Stoffe wie Ferromagnetismus, Diamagnetismus etc. auch das Erdmagnetfeld. Außerdem beschreibt die Magnetostatik die Kraftwirkung derartig erzeugter Felder auf Magnete und Ströme. Hierzu gehört das Verhalten eines magnetischen Dipols in einem zeitlich konstanten Magnetfeld, beispielsweise das Verhalten einer (frei beweglichen) Magnetnadel im Erdmagnetfeld.

Die Grundbegriffe sind der Elektrostatik analog. Der positiven und negativen elektrischen Ladung entsprechen Nordpole und Südpole, quantitativ: positive und negative Polstärke. Allerdings können magnetische Pole im Gegensatz zu elektrischen Ladungen nicht isoliert werden, sondern treten in einem Körper immer zusammen auf.

Veranschaulichung

Obwohl es keine isolierten magnetischen Ladungen (magnetische Monopole) gibt, können magnetostatische Effekte mit einer Analogie zur Elektrostatik veranschaulicht werden. Dies wird insbesondere in der Schulphysik benutzt: man betrachtet einen Stabmagneten der Länge l als zwei entgegensetzte magnetische Ladungen im Abstand l. Das Analogon zur elektrischen Ladung ist die magnetische Polstärke $p$. Die Polstärke ist so definiert, dass das magnetische Kraftgesetz (auch: magnetostatisches Kraftgesetz) analog zur Coulomb-Kraft formuliert werden kann:

$F={\frac {1}{4\pi \mu _{0}}}{\frac {p_{1}\cdot p_{2}}{r^{2}}}.$

F ist hierbei die magnetische Kraft, die zwischen zwei Magnetpolen der Polstärke $p_{1}$ und $p_{2}$ im Abstand $r$ wirkt; μ₀ ist die magnetische Feldkonstante. Die Polstärke ist von der gleichen Dimension wie der magnetische Fluss und wird somit in der Einheit Weber angegeben.

Aus der Definition folgt z. B. bei einem homogenen Feld mit bekannter Flussdichte B und Fläche A für die Kraft:

$F={\frac {1}{4\pi \mu _{0}}}{\frac {\Phi _{1}\cdot \Phi _{2}}{r^{2}}}={\frac {1}{4\pi \mu _{0}}}{\frac {B_{1}A_{1}\cdot B_{2}A_{2}}{r^{2}}}$

Feldtheorie

Für zeitlich konstante Felder „entkoppeln“ die Gleichungen für elektrische (E) und magnetische (B) Felder: setzt man in den Maxwellgleichungen alle Zeitableitungen gleich 0, so entstehen Gleichungen, die nicht gleichzeitig E und B enthalten. Die Phänomene der Magnetostatik lassen sich mit folgenden zwei reduzierten Maxwellgleichungen beschreiben:

1. $\nabla \cdot {\vec {B}}=0$
2. $\nabla \times {\vec {B}}=\mu {\vec {j}}$

Man führt das Vektorpotential ${\vec {A}}$ als Hilfsfeld mit folgender Definition ein:

${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}$

Dadurch wird automatisch die Gleichung $\nabla \cdot {\vec {B}}=0$ erfüllt, da die Divergenz eines Rotationsfeldes identisch 0 ist $\nabla \cdot \left({\nabla \times {\vec {A}}}\right)\equiv 0$.

${\vec {A}}$ ist jedoch nicht eindeutig bestimmt, da ${\vec {B}}$ invariant ist unter einer Eichtransformation $\chi$ mit ${\vec {A}}'={\vec {A}}+\nabla \chi$. D. h. die durch A und A’ festgelegten B-Felder sind identisch. Dies ergibt sich aus

${\vec {B}}'=\nabla \times {\vec {A}}'=\nabla \times {\vec {A}}+\nabla \times \nabla \chi =\nabla \times {\vec {A}}={\vec {B}}$,

da die Rotation des Gradienten eines Skalarfeldes verschwindet.

Setzt man ${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}$ in die inhomogene Maxwellgleichung (obige Gleichung 2)

$\mu {\vec {j}}=\nabla \times \nabla \times {\vec {A}}=\nabla \left({\nabla \cdot {\vec {A}}}\right)-\Delta {\vec {A}}$

ein ($\Delta$ ist der Laplace-Operator), so ergibt sich mit der Coulomb-Eichung $\nabla \cdot {\vec {A}}=0$ die besonders einfache Form:

$\Delta {\vec {A}}=-\mu {\vec {j}}$

Dies stellt für jede Komponente eine Poisson-Gleichung dar, die durch

${\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {{\vec {j}}({\vec {r}}\,')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'|}}$

gelöst wird.

Wendet man die Rotation auf A an so erhält man das Biot-Savart-Gesetz für das physikalisch relevante B-Feld

${\vec {B}}\left({\vec {r}}\right)=\nabla _{\vec {r}}\times {\vec {A}}\left({\vec {r}}\right)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\nabla _{\vec {r}}\times {\frac {{\vec {j}}\left({{\vec {r}}\,'}\right)}{\left|{{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'}\right|}}}\mathrm {d} ^{3}r'={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\left({\nabla _{\vec {r}}{\frac {1}{\left|{{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'}\right|}}}\right)\times }{\vec {j}}\left({{\vec {r}}\,'}\right)\mathrm {d} ^{3}r'={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\vec {j}}\left({{\vec {r}}\,'}\right)\times {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'}{\left|{{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'}\right|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}r'}$

Für einen Stromfaden geht ${\vec {j}}\left({{\vec {r}}\,'}\right)\mathrm {d} ^{3}r'$ zu $I\,\mathrm {d} {\vec {s}}\,'$ über:

${\vec {B}}\left({\vec {r}}\right)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int {\mathrm {d} {\vec {s}}\,'\times {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'}{\left|{{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'}\right|^{3}}}}$

Magnetostatische Felder

Magnetostatische Felder existieren innerhalb gleichstromführender Leiter. Sie sind quellenfrei und es gibt keine magnetischen Ladungen,

$\mathrm {div} \;B(r)=0$.

Die Ursache magnetostatischer Felder sind bewegte elektrische Ladungen bzw. ihnen äquivalente Gleichströme mit der Wirbeldichte:

$\mathrm {rot} \;H(r)=J_{L}(r)$.

Literatur

• Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik. Bd.2: Elektrizität und Optik. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20210-2
• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-71251-0
• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie, Springer Verlag, ISBN 3-540-42018-5