D’Alembert-Operator

Der D'Alembert-Operator $\Box$ ist ein Differentialoperator zweiter Ordnung, der auf Funktionen $f(t,x_{1},\dots ,x_{d-1})$ der $d$-dimensionalen Raumzeit wirkt (z. B. $d=4$).

$\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\sum _{i=1}^{d-1}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}{}^{2}}}\ .$

Sein Formelzeichen $\Box$ (gesprochen Box) ähnelt dem des Laplace-Operators

$\Delta =\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}{}^{2}}}\ ,$

der aber deutlich verschiedene Eigenschaften hat.

Der D'Alembert-Operator ist der Differentialoperator der Wellengleichung und der Klein-Gordon-Gleichung und heißt auch Wellenoperator oder Quabla-Operator.

In der Physik wird auch die Konvention verwendet, dass die Zeit-Koordinate $t$ in der obig angegebenen Gleichung mit der Geschwindigkeit $c$ zusammengefasst wird. Diese Zusammenfassung lässt sich wiederum als Wegstrecke interpretieren. Dabei wäre die Koordinate $\tau =ct$ die Strecke, die von der Welle in der Zeit $t$ mit der Geschwindigkeit $c$ durchlaufen wird.

Lorentzinvarianz des D'Alembert-Operators

Die Koeffizienten der zweiten Ableitungen im Wellenoperator sind die Komponenten der (inversen) Raumzeitmetrik

$\Box =\eta ^{mn}\partial _{x^{m}}\partial _{x^{n}}\ ,\ \eta ={\text{diag}}(1,-1,\dots ,-1)\ .$

In der ebenso verbreiteten Konvention, das Negative dieser quadratischen Form, ${\text{diag}}(-1,+1,\dots ,+1)$, als Raumzeitmetrik zu bezeichnen, steht $\Box$ für das Negative des hier definierten D'Alembert-Operators.

So wie die Raumzeitmetrik $\eta$ ist der D'Alembert-Operator $\Box$ invariant unter Translationen und Lorentztransformationen $\Lambda$. Angewendet auf Lorentzverkettete Funktionen $f\circ \Lambda ^{-1}$ ergibt er dasselbe, wie die Lorentzverkettete abgeleitete Funktion

$(\Box f)\circ \Lambda ^{-1}=\Box \,(f\circ \Lambda ^{-1})\ .$

Greensche Funktion

Eine Greensche Funktion $G(t,t',x,x')$ des D'Alembert-Operators erfüllt als dessen Rechtsinverses die Definitionsgleichung

$\square (t,\mathbf {x} )G(t-t^{\prime },\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime })=\delta (t-t^{\prime })\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime })$.

Dabei bezeichnet $\delta$ die Diracsche Delta-Distribution. Da es sich um einen nicht explizit zeit- und ortsabhängigen Operator handelt, hängt $G$ nur von den Differenzen $(t-t')$ sowie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x - x')} ab, weshalb wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit die gestrichenen Koordinaten null setzen können. Für die Fouriertransformierte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(\omega,k)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(t, \mathbf x) = \frac1{(2\pi)^3} \iint d\omega\ d^3\mathbf k\; \mathrm{e}^{\mathrm i(\omega t-\mathbf{kx})}\ G(\omega, \mathbf k) }

ergibt sich dann folgende algebraische Gleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(\omega, \mathbf k) = \frac 1{-(\omega/c)^2 + k^2}}

Die Polstellen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(\omega,k)} liegen genau dort, wo die Dispersionsrelation für elektromagnetische Wellen im Vakuum (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega^2=c^2k^2} ) erfüllt ist. Die Lösungen der homogenen Wellengleichung fallen also genau mit den Polen der Greenschen Funktion zusammen, was ein für Antwortfunktionen typisches Resonanzverhalten ist.

Um die Rücktransformation durchführen zu können, betrachten wir die analytische Fortsetzung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(\omega,k)} für komplexe Frequenzen. Mit Hilfe des Residuenkalküls kann man die Pole bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\omega| = ck} „umschiffen“, wobei verschiedene Pfade verschiedenen Randbedingungen entsprechen. Man unterscheidet:

Typ	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(\omega,\mathbf k)}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(t, x)}
Retardiert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G^+}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac 1{-(\omega/c + \mathrm i \epsilon)^2 + k^2}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac 1{4\pi x} \delta\left(t - \frac xc\right)\Theta(t)}
Avanciert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G^-}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac 1{-(\omega/c - \mathrm i \epsilon)^2 + k^2}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac 1{4\pi x} \delta\left(t + \frac xc\right)\Theta(-t)}

Die Greensche Funktion im Frequenzraum ist dabei im Grenzwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon\to0^+} zu verstehen, was den verschiedenen Pfaden um die Pole im Integral entspricht.

Der Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t-x/c} entspricht dem Ausbreitungsgesetz einer Kugelwelle.

Literatur

• Torsten Fließbach: Elektrodynamik. Lehrbuch zur theoretischen Physik II. 6. Auflage. Springer Spektrum Akademischer Verlag, Berlin / Heidelberg 2012, ISBN 978-3-8274-3035-9.