Quantilsregression

Beispiel für die Quantilsregression

Als Quantilsregression wird eine Methode zum Schätzen der Parameter eines linearen Regressionsmodells bezeichnet. Im Gegensatz zur Kleinste-Quadrate-Schätzung, die den Erwartungswert der Zielgröße schätzt, ist die Quantilsregression dazu geeignet, ihre Quantile zu schätzen. Die Quantilsregression ist somit eine Möglichkeit durch die Betrachtung anderer Eigenschaften der Zielgrößenverteilung, den dem klassischen linearen Modell unterliegenden Fokus auf den Erwartungswert der Zielgröße aufzugeben. Die Median-Regression stellt einen Spezialfall der Quantilsregression dar.

Optimierungsproblem

Pinball-Verlustfunktion mit $\tau =0{,}9$. Für $\varepsilon <0$ beträgt der Fehler $-0{,}1\varepsilon$, für $\varepsilon \geq 0$ beträgt er $0{,}9\varepsilon$.

Sei $Y$ eine reelle Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion $F_{Y}(y)=P(Y\leq y)$, dann entspricht das $\tau$-Quantil von $Y$:

$Q_{Y}(\tau )=F_{Y}^{-1}(\tau )=\inf \left\{y:F_{Y}(y)\geq \tau \right\}$

mit $\tau \in (0,1).$

Seien $(\mathbf {x} _{i},y_{i})$ mit $i\in \{1,\dots ,n\}$ beobachtete Paare von unabhängigen Variablen $\mathbf {x} _{i}$ und zugehörigen abhängigen Variablen $y_{i}$. Das Regressionsmodell wird als $y_{i}=\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}+\varepsilon _{i}$ beschrieben. Die optimalen Regressionsparameter können durch die folgende Minimierung bestimmt werden:

${\hat {\boldsymbol {\beta }}}_{\tau }=\arg \min _{\beta _{\tau }}\sum _{i=1}^{n}w_{\tau }(y_{i},\eta _{i,\tau })|y_{i}-\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}_{\tau }|$.

Hierbei entspricht $\eta _{i,\tau }=\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}_{\tau }$ dem linearen Prädiktor. Die Verlustfunktion entspricht der geneigten absoluten Abweichung:

$w_{\tau }(y_{i},\eta _{i,\tau })={\begin{cases}1-\tau &{\textrm {falls}}\quad y_{i}<\mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}_{\tau }\\\tau &{\textrm {falls}}\quad y_{i}\geq \mathbf {x} _{i}^{\top }{\boldsymbol {\beta }}_{\tau }\end{cases}}.$

Aufgrund ihres Aussehens wird die Verlustfunktion auch pinball loss genannt.

Das Optimierungsproblem kann mit Methoden der linearen Programmierung, bspw. mit dem Simplex-Verfahren, gelöst werden.

Literatur

• David J. Petersen et al.: Perspektiven einer pluralen Ökonomik. Springer Vieweg. Springer Fachmedien, Wiesbaden 2019, ISBN 978-3-658-16144-6, S. 238–240.