Homologiesphäre

Eine Homologiesphäre bezeichnet in der Mathematik eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit $M$, deren singuläre Homologiegruppen isomorph zu denen der gewöhnlichen $n$-Sphäre sind.

Definition

Explizit ausgedrückt heißt eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit $M$, für deren singulären Homologiegruppen

$H_{0}(M,\mathbb {Z} )\cong H_{n}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$

für ein $n>1$ und

$H_{j}(M,\mathbb {Z} )=\{0\}$

für alle anderen $j$ gelten.

Aus der Homologie kann man ablesen, dass $M$ eine kompakte, zusammenhängende Mannigfaltigkeit ohne Rand ist. Im Allgemeinen ist $M$ jedoch nicht einfach zusammenhängend: Teilt man die Fundamentalgruppe $\pi _{1}(M)$ durch ihre Kommutatorgruppe dann erhält man eine Gruppe, die isomorph zur ersten Homologiegruppe $H_{1}(M,\mathbb {Z} )$ ist. Das bedeutet aus $H_{1}(M,\mathbb {Z} )=\{0\}$ kann man lediglich schließen, dass die Fundamentalgruppe eine perfekte Gruppe, also zu ihrer Kommutatorgruppe isomorph ist, nicht aber dass $\pi _{1}(M)$ trivial sein muss.

Geschichtliche Einordnung

Historisch wurden Homologiesphären zuerst in der $3$-dimensionalen Topologie betrachtet.

Poincaré glaubte anfangs, dass der Homologiering ausreichen müsste, um die $3$-dimensionale Standardsphäre eindeutig zu charakterisieren. Er entdeckte aber ein Gegenbeispiel (die sogenannte Poincaré-Homologiesphäre) und formulierte dann die schärfere Poincaré-Vermutung (bei der zusätzlich $\pi _{1}(M)=\{0\}$ gefordert wird), die erst ca. 100 Jahre später von Perelman bewiesen wurde.

Verbindung zur Homotopiesphäre

Eine Anwendung des Satzes von Hurewicz und des Satzes von Whitehead zeigt, dass jede einfach zusammenhängende $n$-dimensionale Homologiesphäre eine Homotopiesphäre, d. h. homotopieäquivalent zur Sphäre $S^{n}$ sein muss. Aus der Poincaré-Vermutung beziehungsweise ihrem höherdimensionalen Analogon für $n>3$ folgt dann, dass sie auch homöomorph zur $S^{n}$ ist. Auch in höheren Dimensionen gibt es also Homologiesphären $M\not =S^{n}$ nur für $\pi _{1}M\not =0$.

Weblinks

• Classification of homology 3-spheres? (mathoverflow)