Kurve (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Kurve (von lateinisch curvus „gebogen, gekrümmt“) ein eindimensionales Objekt. Im Gegensatz etwa zu einer Geraden muss eine Kurve grundsätzlich keinen geraden, sondern kann vielmehr jeden beliebigen Verlauf annehmen.

Eindimensional bedeutet dabei informell, dass man sich auf der Kurve nur in eine Richtung (bzw. in die Gegenrichtung) bewegen kann. Ob die Kurve in der zweidimensionalen Ebene liegt („ebene Kurve“), in einem höherdimensionalen Raum (siehe Raumkurve), oder gar in einer Mannigfaltigkeit (beispielsweise in einer Lorentzschen Mannigfaltigkeit) ist in diesem begrifflichen Zusammenhang unerheblich.

Je nach Teilgebiet der Mathematik gibt es unterschiedliche Präzisierungen dieser Beschreibung.

Parameterdarstellungen

→ Hauptartikel: Weg (Mathematik)

Eine Kurve kann als das Bild (Wertebereich) eines Weges definiert werden. Ein Weg ist (abweichend von der Umgangssprache) eine stetige Abbildung von einem Intervall in den betrachteten Raum, also z. B. in die euklidische Ebene $\mathbb {R} ^{2}$. Ein Weg, dessen Bild eine gegebene Kurve ist, heißt auch Parameterdarstellung dieser Kurve. Wege werden deshalb manchmal auch als parametrisierte Kurven bezeichnet.

kubische Kurve mit einem Doppelpunkt. t → (t² − 1, t · (t² − 1)) bzw. y² = x²(x + 1)

Beispiele:

• Die Abbildung

${[0,2\pi [}\to \mathbb {R} ^{2},\quad t\mapsto (\cos t,\sin t)$

beschreibt den Einheitskreis in der Ebene.

• Die Abbildung

$\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},\quad t\mapsto {\big (}t^{2}-1,t(t^{2}-1){\big )}$

beschreibt eine Kurve mit einem einfachen Doppelpunkt bei $(0,0)$, entsprechend den Parameterwerten $t=1$ und $t=-1$.

Gelegentlich, insbesondere bei historischen Bezeichnungen, wird zwischen Weg und Kurve nicht unterschieden. So ist die interessante Struktur bei der Hilbert-Kurve der Weg; das Bild dieses Weges ist das Einheitsquadrat, besitzt also keinerlei fraktale Struktur mehr.

Parametertransformation

Eine Parametertransformation $\phi$ ist eine umkehrbar stetige Abbildung (Homöomorphismus), der zwei Wege (d. h. parametrisierte Kurven) $c,c'$ ineinander überführt gemäß $c'=c\circ \phi$.

Für zwei Parameterdarstellungen $c\colon I\to C,c'\colon J\to C$ derselben Kurve $C$ ist ein Parameterwechsel daher durch eine Parametertransformation $\phi \colon J\to I$ gegeben, so dass $c'=c\circ \phi \;$ – und damit umgekehrt auch $c=c'\circ$ $\phi ^{-1}$.

Statt Kurven mit den Bildern von Wegen zu identifizieren, könnte man sie auch (im Sinn der Kategorientheorie) äquivalent auch als die Äquivalenzklassen von Wegen mit gleichem Bild beschreiben, die durch Parametertransformationen (Homöomorphismen) ineinander übergeführt werden können. Diese Gleichwertigkeit macht man sich zunutze, um spezielle Klassen von Kurven zu definieren.

Gerichtete Kurven

Durch die Parameterdarstellung erhält die Kurve einen Richtungssinn in der Richtung des wachsenden Parameters.

Eine gerichtete (oder orientierte) Kurve ist eine Äquivalenzklasse von Wegen (parameterisierten Kurven), die sich durch streng (strikt) monotone steigende Parametertransformationen ineinander überführen lassen.

In Anpassung des Sprachgebrauchs an den vorliegenden Verwendungszweck wird allgemein definiert:

Die Spur einer (parametrisierten, gerichteten oder allgemeinen) Kurve ist die eindeutige Menge der Bildpunkte (einer beliebigen Parameterdarstellung derselben).

Glatte Kurven

→ Hauptartikel: Glatte Kurve

In diesem Fall verlangt man zusätzlich $k$-fache stetige Differenzierbarkeit ($k=1,2,\ldots ,\infty$) für den Weg bzw. die Parameterdarstellungen einer (gerichteten) Kurve. Die entsprechenden Kurvenklassen werden mit $C^{k}$ bezeichnet.

Gleichungsdarstellungen

→ Hauptartikel: Implizite Kurve

Eine Kurve kann auch durch eine oder mehrere Gleichungen in den Koordinaten beschrieben werden. Beispiele dafür sind wieder die Bilder der beiden durch die obigen Parameterdarstellungen gegebenen Kurven:

• Die Gleichung

$x^{2}+y^{2}=1$

beschreibt den Einheitskreis in der Ebene.

• Die Gleichung

$y^{2}=x^{2}(x+1)$

beschreibt die oben in Parameterdarstellung angegebene Kurve mit Doppelpunkt.

Ist die Gleichung wie hier durch ein Polynom gegeben, nennt man die Kurve algebraisch.

Funktionsgraphen

→ Hauptartikel: Funktionsgraph

Funktionsgraphen sind ein Spezialfall beider oben angegebenen Formen: Der Graph einer Funktion

$f\colon D\to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto f(x)$

kann entweder als Parameterdarstellung

$D\to \mathbb {R} ^{2},\quad t\mapsto (t,f(t))$

oder als Gleichung

$\Gamma _{f}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=f(x)\}$

angegeben werden.

Wird in der Schulmathematik von Kurvendiskussion gesprochen, so meint man üblicherweise nur diesen Spezialfall.

Differenzierbare Kurven, Krümmung

Sei $[a,b]\subset \mathbb {R}$ ein Intervall und $c\colon [a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ eine reguläre Kurve, d. h. $|c'(x)|\neq 0$ für alle $x\in (a,b)$. Die Länge der Kurve ist

$l=\int _{a}^{b}|c'(t)|\,dt$

Die Funktion

$x\mapsto \int _{a}^{x}|c'(t)|\,dt$

ist ein Diffeomorphismus $[a,b]\to [0,l]$, und die Verkettung von $c$ mit dem inversen Diffeomorphismus liefert eine neue Kurve ${\tilde {c}}\colon [0,l]\to \mathbb {R} ^{n}$ mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |{\tilde c}'(x)|=1} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in(0,l)} . Man sagt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde c} ist nach der Bogenlänge parametrisiert.

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [a,b]\subset\R} ein Intervall und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c\colon [a,b]\to\R^n} eine nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve. Die Krümmung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} an der Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} ist definiert als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa(s)=|c''(s)|} . Für ebene Kurven kann man die Krümmung noch mit einem Vorzeichen versehen: Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle J} die Drehung um 90°, dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa(s)} festgelegt durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c''(s)=\kappa(s)\cdot Jc'(s)} . Positive Krümmung entspricht Linkskurven, negative Rechtskurven.

Geschlossene Kurven

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c\colon [0,1]\to\R^2} eine ebene Kurve. Sie heißt geschlossen, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c(0)=c(1)} , und einfach geschlossen, wenn zusätzlich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,1)} injektiv ist. Der Jordansche Kurvensatz besagt, dass eine einfach geschlossene Kurve die Ebene in einen beschränkten und einen unbeschränkten Teil zerlegt. Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} eine geschlossene Kurve mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c(t)\ne(0,0)} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t\in[0,1]} , kann man der Kurve eine Umlaufzahl zuordnen, die angibt, wie oft die Kurve um den Nullpunkt herumläuft.

Glatten geschlossenen Kurven kann man eine weitere Zahl zuordnen, die Tangentenumlaufzahl, die für eine nach der Bogenläge parametrisierte Kurve Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c\colon [0,l]\to\R^2} durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{2\pi}\int_0^l \kappa(t)\,dt}

gegeben ist. Der Umlaufsatz von Heinz Hopf besagt, dass eine einfache geschlossene Kurve Tangentenumlaufzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -1} hat.

Sei allgemein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ein topologischer Raum. Statt von geschlossenen Wegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c\colon [0,1]\to X} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c(0)=c(1)} spricht man auch von Schleifen mit Basispunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c(0)} . Weil der Quotientenraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,1]/\{0,1\}} homöomorph zum Einheitskreis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S^1} ist, identifiziert man Schleifen mit stetigen Abbildungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S^1\to X} . Zwei Schleifen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_1,c_2} mit Basispunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} heißen homotop, wenn man sie unter Beibehaltung des Basispunkts stetig ineinander deformieren kann, d. h. wenn es eine stetige Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H\colon [0,1]^2\to X} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(s,0)=c_1(s)} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(s,1)=c_2(s)} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(0,t)=H(1,t)=x} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} gilt. Die Äquivalenzklassen homotoper Schleifen bilden eine Gruppe, die Fundamentalgruppe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} . Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X=\R^2-\{0\}} , dann ist die Fundamentalgruppe über die Windungszahl isomorph zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Z} .

Raumkurven

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [a,b]\subset\R} ein Intervall und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c\colon [a,b]\to\R^3} eine nach der Bogenlänge parametrisierte Kurve. Die folgenden Bezeichnungen sind Standard:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} t(s) &= c'(s) \\ n(s) &= \frac{t'(s)}{|t'(s)|} \\ b(s) &= t(s) \times n(s) \end{align}}

(definiert, wann immer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t'(s)\ne 0} ). Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t(s)} ist der Tangentialvektor, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n(s)} der Normalenvektor und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b(s)} der Binormalenvektor, das Tripel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (t,n,b)} heißt begleitendes Dreibein. Die Krümmung ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa(s)=|t'(s)|=|c''(s)|} , die Windung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau(s)} definiert durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b'(s)=-\tau(s) n(s)} . Es gelten die frenetschen Formeln:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{matrix} t' & = & & \kappa n \\ n' & = & -\kappa t & + & \tau b \\ b' & = & & -\tau n \end{matrix}}

Der Hauptsatz der lokalen Kurventheorie besagt, dass man eine Kurve aus Krümmung und Windung rekonstruieren kann: Sind glatte Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa,\tau\colon [0,l]\to\R} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa(s)>0} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s\in[0,l]} (der Wert 0 ist für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa} also nicht erlaubt), so gibt es bis auf Bewegungen genau eine entsprechende Kurve.

Die von je zwei der drei Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} aufgespannten Ebenen durch den Kurvenpunkt tragen besondere Namen:

• Die Oskulations­ebene oder Schmiegebene wird von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} aufgespannt.
• Die Normalebene wird von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} aufgespannt.
• Die rektifizierende Ebene oder Streckebene wird von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} aufgespannt.

Kurven als eigenständige Objekte

Kurven ohne umgebenden Raum sind in der Differentialgeometrie relativ uninteressant, weil jede eindimensionale Mannigfaltigkeit diffeomorph zur reellen Geraden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} oder zur Einheitskreislinie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S^1} ist. Auch Eigenschaften wie die Krümmung einer Kurve sind intrinsisch nicht feststellbar.

In der algebraischen Geometrie und damit zusammenhängend in der komplexen Analysis versteht man unter „Kurven“ in der Regel eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten, oft auch als Riemannsche Flächen bezeichnet. Diese Kurven sind eigenständige Studienobjekte, das prominenteste Beispiel sind die elliptischen Kurven. Siehe Kurve (algebraische Geometrie)

Historisches

Das erste Buch der Elemente von Euklid begann mit der Definition „Ein Punkt ist, was keine Teile hat. Eine Kurve ist eine Länge ohne Breite.“

Diese Definition lässt sich heute nicht mehr aufrechterhalten, denn es gibt zum Beispiel Peano-Kurven, d. h. stetige surjektive Abbildungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon\R\to \R^2} , die die gesamte Ebene ausfüllen. Andererseits folgt aus dem Lemma von Sard, dass jede differenzierbare Kurve den Flächeninhalt null, also tatsächlich wie von Euklid gefordert „keine Breite“ hat.

Literatur

• Ethan D. Bloch: A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry. Birkhäuser, Boston 1997.
• Wilhelm Klingenberg: A Course in Differential Geometry. Springer, New York 1978.

Weblinks

Commons: Kurven – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Kurve – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen