Rayleigh-Jeans-Gesetz

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Vergleich des Rayleigh-Jeans-Gesetzes (blau) mit dem wienschen (rot) und dem planckschen Strahlungsgesetz (schwarz), für einen Schwarzen Körper der Temperatur 1000 K.

Das Rayleigh-Jeans-Gesetz beschreibt die Abhängigkeit der spezifischen Ausstrahlung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} eines Schwarzen Körpers von der Lichtwellenlänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} , die bei einer gegebenen Temperatur im Rahmen der klassischen Elektrodynamik und Statistischen Thermodynamik theoretisch zu erwarten ist. Es wurde erstmals 1900 von dem englischen Physiker John William Strutt, 3. Baron Rayleigh abgeleitet,[1] wobei seine Formel aber noch einen falschen Vorfaktor aufwies. Die korrekte Formel wurde fünf Jahre später von dem englischen Physiker, Astronomen und Mathematiker Sir James Jeans veröffentlicht.[2]

Das Rayleigh-Jeans-Gesetz stimmt mit den Messungen nur bei großen Wellenlängen überein (siehe Bild, die Messwerte entsprechen der Planck-Kurve). Bei kleinen Wellenlängen hingegen liefert es viel zu große Werte, welche die Energie der Gesamtstrahlung, die spektrale Ausstrahlung integriert über den gesamten Wellenlängenbereich, bei jeder Temperatur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T>0\;\mathrm K} gegen unendlich streben lassen. Dieses Verhalten markiert ein Versagen der klassischen Physik und wird daher als Ultraviolett-Katastrophe bezeichnet.[3]

Das Rayleigh-Jeans-Gesetz lautet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M(\lambda)\, \mathrm{d}\lambda = \frac{2 \, c \, \pi}{\lambda^4} \, k_\mathrm{B} \, T\, \mathrm{d}\lambda}

mit

  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M(\lambda)} : Spektrale spezifische Ausstrahlung
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} : Lichtgeschwindigkeit
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_\mathrm{B}} : Boltzmann-Konstante
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} : absolute Temperatur des Schwarzkörpers.

Richtig wird das Verhalten bei kleinen Wellenlängen, also hohen Frequenzen (und damit entsprechend hoher Energie der Quanten), durch das Wiensche Strahlungsgesetz von 1896 beschrieben, das aber mit der klassischen Physik nicht erklärt werden kann. Im Jahr 1900 fand Max Planck das nach ihm benannte Strahlungsgesetz, das bei allen Temperaturen im gesamten Wellenlängenbereich mit den Messungen übereinstimmt und dessen erste erfolgreiche theoretische Deutung als Beginn der Quantenphysik angesehen wird. Das Plancksche Strahlungsgesetz ist eine Interpolationsformel der beiden anderen Gesetze und enthält diese als Grenzfall großer bzw. kleiner Wellenlängen.

Herleitung

Der Ausgangspunkt zur Herleitung des Rayleigh-Jeans-Gesetzes ist die Hohlraumstrahlung. In einem Hohlraum bilden sich stehende Lichtwellen, die aufgrund der Randbedingungen, an den Wänden des Hohlraums Wellenknoten bilden zu müssen, nur diskrete Wellenzahlen annehmen können. Der Einfachheit halber sei im Folgenden ein Würfel mit der Kantenlänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} angenommen. Dann lautet die Bedingung an die Wellenzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k = \frac \pi a \sqrt{n_x^2 + n_y^2 + n_z^2}}

mit drei ganzen Zahlen Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}} . Die Anzahl der Moden pro Volumeneinheit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} ergibt sich damit zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n = \frac{8 \pi \nu^3}{3c^3}}

mit der Frequenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \nu = \frac{k }{2\pi} c} .

Die Anzahl der Moden pro Frequenzintervall (spektrale Modendichte) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm d\nu} beträgt[4]:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm d n}{\mathrm d\nu} \mathrm d \nu = \frac{8 \pi \nu^2}{c^3} \mathrm d\nu }

und die spektrale Energiedichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w(\nu)} ergibt sich als Produkt der spektralen Modendichte mit der mittleren Energie pro Mode :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w(\nu) \mathrm d\nu= \frac{\mathrm d n}{\mathrm d\nu} \bar E_\nu \mathrm d\nu}

Das Rayleigh-Jeans-Gesetz nimmt für die mittlere Energie die Gültigkeit des Gleichverteilungssatzes an. Dieser besagt,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar E_\nu = k_\mathrm B T}

und somit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w(\nu) \, \mathrm d\nu = \frac{8 \, \pi \, \nu^2}{c^3} \, k_\mathrm B \, T \, \mathrm d\nu}

Um dies auf die Wellenlänge umzuschreiben, gilt der Zusammenhang Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nu = c/\lambda} und daher[5]

.

Aus dem Zusammenhang zwischen Strahlungsdichte und Energiedichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle M = \frac{c}{4\pi} w} folgt das Rayleigh-Jeans-Gesetz.

Rayleigh-Jeans-Gesetz als Approximation des Planckschen Strahlungsgesetzes

Das Plancksche Strahlungsgesetz lautet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M(\lambda) \, \mathrm{d}\lambda = \frac{2 \pi h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\left( \frac{h c}{\lambda k_\mathrm{B} T} \right) } - 1} \, \mathrm{d} \lambda}
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} ist das Plancksche Wirkungsquantum

Im Bereich großer Wellenlängen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{alignat}{2} & \lambda && \gg \frac{h c}{k_\mathrm{B} T} \Leftrightarrow \\ & \frac{h c }{\lambda k_\mathrm{B} T} && \ll 1, \end{alignat}}

kann man die Näherung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e^x - 1\approx x} anwenden (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = (hc)/(\lambda k_\mathrm{B} T)} ) und erhält unmittelbar das Rayleigh-Jeans-Gesetz.

Die nebenstehenden Diagramme zeigen einen Vergleich der drei Strahlungsformeln nach Planck, Wien und Rayleigh-Jeans (oben in linearer, unten in doppeltlogarithmischer Darstellung). Für große Wellenlängen zeigt sich eine gute Übereinstimmung der Vorhersagen nach Rayleigh-Jeans und Planck, zu kleineren Wellenlängen hin weicht Rayleigh-Jeans zunehmend stark nach oben ab. Wien hingegen beschreibt den Grenzfall kleiner Wellenlängen (hier Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda < 5} μm) sehr gut, liegt aber für größere Wellenlängen deutlich zu niedrig.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. ↑ L. Rayleigh: Remarks upon the Law of Complete Radiation. In: Phil. Mag. Band 49, 1900, S. 539–540.
  2. ↑ J. H. Jeans: On the partition of energy between matter and Aether. In: Phil. Mag. Band 10, 1905, S. 91–98.
  3. ↑ Diese physikalisch unsinnige Divergenz des Rayleigh-Jeans-Gesetzes bei kleinen Wellenlängen (hohen Strahlungsfrequenzen) wurde erstmals im Jahr 1905 (unabhängig voneinander) von Einstein, Rayleigh und Jeans beschrieben. Der Begriff Ultraviolett-Katastrophe wurde erstmals 1911 von Paul Ehrenfest verwendet:
    P. Ehrenfest: Welche Züge der Lichtquantenhypothese spielen in der Theorie der Wärmestrahlung eine wesentliche Rolle? In: Annalen der Physik. Band 341, Nr. 11, 1911, S. 91–118.
  4. ↑ Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2: Elektrizität und Optik. 3. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York 2004, ISBN 3-540-20210-2, S. 201–203.
  5. ↑ Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 3: Atome, Moleküle und Festkörper. 3. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 3-540-21473-9, S. 76.
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