Reguläre bedingte Verteilung

Die reguläre bedingte Verteilung einer Zufallsvariable ist ein Begriff aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie verallgemeinert die Verteilung einer Zufallsvariable um den Aspekt, dass eventuell schon Vorinformationen über die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments bekannt sind. Damit spielt die reguläre bedingte Verteilung eine wichtige Rolle in der Bayes-Statistik und in der Theorie der stochastischen Prozesse. Im Gegensatz zur (gewöhnlichen) bedingten Verteilung ist die reguläre bedingte Verteilung mithilfe des bedingten Erwartungswertes definiert und nicht mit der (gewöhnlichen) bedingten Wahrscheinlichkeit, was sie wesentlich allgemeiner macht.

Definition

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ und ein Messraum $(E,{\mathcal {E}})$ sowie eine Unter-σ-Algebra ${\mathcal {F}}$ von ${\mathcal {A}}$. Sei $Y$ eine Zufallsvariable von $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ nach $(E,{\mathcal {E}})$.

Ein Markow-Kern $\kappa _{Y,{\mathcal {F}}}$ von $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ nach $(E,{\mathcal {E}})$ heißt eine reguläre Version der bedingten Verteilung der Zufallsvariable $Y$ gegeben ${\mathcal {F}}$, wenn

$\kappa _{Y,{\mathcal {F}}}(\omega ,B)=P(Y^{-1}(B)|{\mathcal {F}})(\omega )$

für alle $B\in {\mathcal {E}}$ und für $P$-fast alle $\omega$ gilt.

Dabei ist $P(A|{\mathcal {F}})(\omega ):=\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}|{\mathcal {F}})(\omega )$ die bedingte Wahrscheinlichkeit, wie sie über den bedingten Erwartungswert definiert wird.

Explizit bedeuten die Bedingungen in der Definition an die Funktion $\kappa _{Y,{\mathcal {F}}}\colon \Omega \times {\mathcal {E}}\to [0,1]$ also:

1. Für alle $\omega \in \Omega$ ist $\kappa _{Y,{\mathcal {F}}}(\omega ,\,\cdot \,)$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $(E,{\mathcal {E}})$,
2. für alle $B\in {\mathcal {E}}$ ist $\kappa _{Y,{\mathcal {F}}}(\,\cdot \,,B)$ eine ${\mathcal {F}}$-messbare Funktion und
3. für alle $B\in {\mathcal {E}}$ und alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F \in \mathcal F} gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_F \kappa_{Y, \mathcal F}(\,\cdot\,, B)\, dP = P(Y^{-1}(B) \cap F)} .

Bemerkungen

Existenz

Eine reguläre bedingte Verteilung existiert immer für reellwertige Zufallsvariablen, wenn die reellen Zahlen mit der Borelschen σ-Algebra versehen sind. Allgemeiner existiert die reguläre bedingte Verteilung immer für Zufallsvariablen mit Werten in Borel'schen Räumen, also beispielsweise für polnische Räume oder den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n } jeweils versehen mit der Borelschen σ-Algebra.

Varianten

Analog zu den Varianten des bedingten Erwartungswertes lassen sich auch verschiedene Varianten der regulären bedingten Verteilung definieren, die sich alle auf die obige Definition zurückführen lassen.

• Ohne die Verwendung von Zufallsvariablen lässt sich die bedingte Verteilung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P } gegeben Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal F } definieren als der Markow-Kern mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa(\omega, A)= P(A|\mathcal F)(\omega)}

für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P } -fast alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega } und alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \in \mathcal A } .

• Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X } eine weitere Zufallsvariable von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\Omega, \mathcal A) } in einen weiteren Messraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (E_1, \mathcal E_1) } , so ersetzt man die σ-Algebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal F } durch die von der Zufallsvariable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X } erzeugte σ-Algebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma (X) } , um die bedingte Verteilung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y } gegeben Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X } zu erhalten.

Beispiel

Gegeben seien zwei reellwertige Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichtefunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_{X,Y}(x,y) } bezüglich des Lebesgue-Maßes. Dann ist die reguläre bedingte Verteilung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y } gegeben Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X } gegeben durch die Dichte

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_{Y|X}(y|x):=\frac{f(x,y)}{f_X(x)} } ,

das heißt, es gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa_{Y,\sigma(X)}(\omega, B) = \frac{\displaystyle\int_B f(X(\omega),y)\, dy}{f_X(X(\omega))}} .

Hierbei bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_X(x) = \int_{\R} f(x,y) \, dy} die Dichte der Randverteilung. Die Tatsache, dass diese Randverteilung im Nenner Null werden kann, ist nicht weiter problematisch, da dies bloß auf einer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_X } -Nullmenge passiert.

Berechnung bedingter Erwartungswerte

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa_{Y, \mathcal F} } eine reguläre Version der bedingten Verteilung einer integrierbaren reellwertigen Zufallsvariable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y } gegeben Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal F } , dann gilt für den bedingten Erwartungswert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y } gegeben Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal F }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname E(Y | \mathcal F)(\omega) = \int_{\R} y \, \kappa_{Y, \mathcal F}(\omega, dy)}

für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} -fast alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega \in \Omega } .

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3. 
• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.