Relativistisches Additionstheorem für Geschwindigkeiten

Das Relativistische Additionstheorem für Geschwindigkeiten besagt, wie die Geschwindigkeit ${\vec {u}}$ eines Objekts in einem bestimmten Bezugssystem zu bestimmen ist, wenn sich das Objekt mit einer Geschwindigkeit ${\vec {u}}'$ gegenüber einem zweiten Bezugssystem bewegt, das sich selbst gegenüber dem ersten mit einer Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ bewegt. Das Theorem kann aus der Lorentztransformation für gegeneinander bewegte Inertialsysteme hergeleitet werden.

In der klassischen Mechanik werden Geschwindigkeiten vektoriell addiert (${\vec {u}}={\vec {u}}'+{\vec {v}}$) und haben daher keine obere Schranke. Da aber nach der speziellen Relativitätstheorie die Geschwindigkeit eines Objekts die Lichtgeschwindigkeit $c$ nicht überschreiten kann, können die klassischen Gleichungen nur eine Näherung sein. Unterschiede machen sich bemerkbar, wenn eine oder beide der zu addierenden Geschwindigkeiten nicht mehr vernachlässigbar klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit sind.

Das Relativistische Additionstheorem für Geschwindigkeiten ist durch Messungen bestätigt worden.

Definition

Diagramm zur relativistischen Addition der gleichgerichteten Geschwindigkeiten $u_{x}'$ und $v,$
jeweils ausgedrückt in Bruchteilen der Lichtgeschwindigkeit $c$ (Erläuterungen s. Artikeltext).
Die Konturlinien zeigen die resultierende Geschwindigkeit $u_{x},$ ebenfalls normiert auf $c$
(Abstufung geändert für ${\tfrac {u_{x}}{c}}>0{,}9$).
Je größer die beiden Ausgangsgeschwindigkeiten, desto stärker weicht das Ergebnis von der arithmetischen Addition ab:
auch die resultierende Geschwindigkeit wird die Lichtgeschwindigkeit nicht überschreiten.

Ein Beobachter ${\mathcal {B}}^{\prime }$ bewege sich gegenüber dem Beobachter ${\mathcal {B}}$ mit der Geschwindigkeit $v$ in Richtung der $x$-Achse. Für den Beobachter ${\mathcal {B}}^{\prime }$ bewege sich ein Körper mit der Geschwindigkeit u' $=(u_{x}^{\prime },u_{y}^{\prime },u_{z}^{\prime })\,.$ Dann hat dieser Körper für den Beobachter ${\mathcal {B}}$ die Geschwindigkeit ${\vec {u}}$ mit den Komponenten

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle u_{x}={\dfrac {u_{x}'+v}{1+{\dfrac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}}}\qquad \qquad \Leftrightarrow {\dfrac {u_{x}}{c}}={\dfrac {{\dfrac {u_{x}'}{c}}+{\dfrac {v}{c}}}{1+{\dfrac {u_{x}'}{c}}\cdot {\dfrac {v}{c}}}}}

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle u_{y}={\dfrac {u_{y}'{\sqrt {1-\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}}}}{1+{\dfrac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}}}=u_{y}'\,{\dfrac {1}{\gamma \left(1+{\dfrac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}\right)}}}

$u_{z}={\dfrac {u_{z}'{\sqrt {1-\left({\dfrac {v}{c}}\right)^{2}}}}{1+{\dfrac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}}}=u_{z}'\,{\dfrac {1}{\gamma \left(1+{\dfrac {u_{x}'\,v}{c^{2}}}\right)}}$

mit

• der Lichtgeschwindigkeit $c$ und
• dem Lorentzfaktor (der stets größer gleich 1 ist)

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$

Koordinatenfrei ausgedrückt: Die resultierende Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec u} ergibt sich aus der einfachen Addition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec u'+ \vec v} der Geschwindigkeiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec u} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec v} mit folgenden Modifikationen:

• Die Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec u} ist um den Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 + \tfrac{\vec u' \cdot \vec v}{c^2}} kleiner.
• Die Komponenten der Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec u} senkrecht zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec v} sind zusätzlich um den Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma} kleiner.

Interpretation

Sind die beteiligten Geschwindigkeiten sehr klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v \ll c \Leftrightarrow \frac{v}{c} \ll 1 \,,}

so unterscheidet sich der Nenner (und auch der Term unter der Wurzel im Zähler) kaum von 1

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow 1 + \frac{u_x' \, v}{c^2} \approx 1 \,, \qquad \sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right) ^2} = \frac{1}{\gamma} \approx 1 \,,}

und es ergibt sich in guter Näherung die klassische nichtrelativistische Geschwindigkeitsaddition:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \Rightarrow u_x & \approx u_x' + v\\ u_y & \approx u_y'\\ u_z & \approx u_z' \,. \end{align}}

Beispiel: In einem mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v = 200\ \mathrm{km/h}} fahrenden Zug Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{B}^\prime} läuft eine Person mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u^\prime_x = 5\ \mathrm{km/h}} relativ zum Zug in Fahrtrichtung. Die von einem am Bahndamm stehenden Beobachter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{B}} gemessene Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_x} der Person ist gerade mal um 0,17 nm/h langsamer als die bei einfacher Addition erhaltenen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u^\prime_x + v = 205\ \mathrm{km/h}} . Zum Vergleich: Der Durchmesser eines Atoms liegt in der Größenordnung von 0,1 nm. Das heißt, der „Zugläufer“ kommt in der Stunde knapp zwei Atomdurchmesser weniger weit, als man es bei nichtrelativistischer Rechnung erwarten würde. Dies ist bei einer zurückgelegten Strecke von 205 km in den meisten Fällen vernachlässigbar, zumal das häufig übersehene Gesetz der gültigen Ziffern die Zahl der signifikanten Stellen begrenzt.

Für Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit ergeben sich jedoch deutliche Abweichungen von der nichtrelativistischen Additionsregel, vgl. die folgenden Beispiele.

Folgerungen

Als Folge des Additionstheorems kann auch durch Überlagerung zweier Geschwindigkeiten die Lichtgeschwindigkeit nicht übertroffen werden.

1. Beispiel

Es seien

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v = 0{,} 75c\quad } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \quad u_x' = 0{,}75c \,.}

Dann ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_x = \frac{0{,}75c+0{,}75c}{1 + 0{,}75 \cdot 0{,}75} = \frac{1{,}5c}{1{,}5625} = 0{,}96 c < c}

und nicht etwa 1,5c.

2. Beispiel

Ist die Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec u} für den Beobachter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{B}^\prime} gleich der Lichtgeschwindigkeit, dann ist sie es auch für den Beobachter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{B}.}

Sind zum Beispiel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_x' = 0\,, \quad u_y' = c\,, \quad u_z' = 0 \, ,}

dann ergeben sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_x = v\,, \quad u_y = c / \gamma\,, \quad u_z = 0\,.}

Damit folgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2} = \sqrt{v^2 + c^2\left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)} = \sqrt{c^2} = c \,.}

Herleitung

Um das Formelbild zu vereinfachen, werden alle Geschwindigkeiten als Vielfache der Lichtgeschwindigkeit in natürlichen Einheiten angegeben. Dann haben Zeit und Länge dieselbe Maßeinheit und die dimensionslose Lichtgeschwindigkeit beträgt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c = 1.}

Aus der inversen Lorentz-Transformation (Ersatz von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} durch -Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} )

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = \frac{t' + v\, x'}{\sqrt{1 - v^2}}\ ,\quad x =\frac{x' + v\,t'}{\sqrt{1 - v^2}} \ ,\quad y = y'\ ,\quad z = z'}

folgt für die Differentiale, da die Transformation linear ist,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}t' + v\,\mathrm{d}x'}{\sqrt{1 - v^2}}\ ,\quad \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}x' + v\,\mathrm{d}t'}{\sqrt{1 -v^2}}\ ,\quad \mathrm{d}y = \mathrm{d}y'\ ,\quad \mathrm{d}z = \mathrm{d}z'\,.}

Daher folgt für die Geschwindigkeiten, die der Beobachter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{B}} ermittelt,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_x=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}x' + v\,\mathrm{d}t'}{\mathrm{d}t' + v\, \mathrm{d}x'} = \frac{\frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'} + v} {1 + v\, \frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'}} = \frac{u_x' + v}{1 + v\, u_x'}\ , }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}y'\sqrt{1 - v^2}}{\mathrm{d}t' + v\, \mathrm{d}x'} = \frac{\frac{\mathrm{d}y'}{\mathrm{d}t'}\sqrt{1 - v^2}} {1 + v\, \frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'}} = \frac{u_y'\sqrt{1 -v^2}}{1 + v\, u_x'}\ , }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_z=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}z'\sqrt{1 - v^2}}{\mathrm{d}t' + v\, \mathrm{d}x'} = \frac{\frac{\mathrm{d}z'}{\mathrm{d}t'}\sqrt{1 - v^2}} {1 + v\, \frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'}} = \frac{u_z'\sqrt{1 -v^2}}{1 + v\, u_x'}\ .}

Aufgelöst nach den gestrichenen Variablen ergeben sich folgende Beziehungen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_x'= \frac{u_x - v}{1 - v\, u_x}\ , \quad u_y'= \frac{u_y\sqrt{1 - v^2}}{1 - v\, u_x}\ , \quad u_z'= \frac{u_z\sqrt{1 - v^2}}{1 - v\, u_x}\ . }

Weblinks

Wikibooks: Spezielle Relativitätstheorie – Lern- und Lehrmaterialien